高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标教案北师大版必修420170825288.wps
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1、2.4.12.4.1 平面向量的坐标表示 2.4.22.4.2 平面向量线性运算的坐示表示 2.4.32.4.3 向量平行的坐标表示 整体设计 教学分析 1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表 示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学 生熟知的数量运算. 2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差 的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律. 3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量
2、 的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共 线的条件(如果存在实数 ,使得 a a.=b b,那么 a a.与 b b 共线),本节则进一步地把向量共线的条 件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条 件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的. 三维目标 1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并 掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示. 2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.
3、3.在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应 用意识. 重点难点 教学重点:平面向量的坐标运算. 教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及 点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于 x、y 的二元一 次方程 A.x+By+C=0(A.、B 不同时为零)何时所体现的两条直线平行?向量的共线用代数运算如 何体现? 思路 2.2.对于平面内的任意向量 A.,过定点 O 作向量 OA =a a.,则
4、点 A.的位置被向量 a a.的大小和 方向所唯一确定.如果以定点 O 为原点建立平面直角坐标系,那么点 A.的位置可通过其坐标来 反映,从而向量 a a.也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向 量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与 形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐 标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐 标来研究呢? 推进新课 新知探究 提出问题 如何用坐标表示平面内的每一个向量?在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是
5、一一对 1 应的? 我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知 a a.=(x1,y1),b b=(x2,y2),你能得出 a a.+b b,a a.-b b,a a. 的坐标表示吗? 如图 2,已知 A.(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示 AB 的坐标?你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1) 的 P 点吗?标出点 P 后,你能总结出什么结论? 图 1 图 2 活动: :在平面直角坐标系中,如图 1,我们分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i i,j j 作为 基底,a a 为坐标平面内的任意向量,以坐标原点 O 为起点作 OP =a a.,由平面向量基本定理,可知 有
6、且只有一对实数 x,y,使得OP =xi i+yj j. 因此 a a=xi i+yj j.我们把实数对(x,y)叫作向量 a a.的坐标,记作 a a=(x,y). *式是向量 a a.的坐标表示. 显然,其中(x,y)就是点 P 的坐标. 由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此 在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.向量的正交分解十分重要,它有 广泛的应用. 教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去 板书步骤.可得: a a+b b=(x1+y1j j)+(x2+y2j j)=(x1+x2)+(
7、y1+y2)j j, 即 a a+b b=(x1+x2,y1+y2). 同理 a a-b b=(x1-x2,y1-y2). 又 a a=(x1+y1j j)=x1+y1j j.a a=(x1,y1). 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等 于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量 AB 平移, 使得点 A 与坐标原点 O 重合,则平移后的 B 点位置就是 P 点.向量 AB 的坐标与以原点为始点, 点 P 为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之
8、间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量 AB 的模与向量OP 的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式: | AB |=|OP |=(x x 2 y y . 1 ) ( ) 2 2 1 2 教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的 翅膀,就一定能获得意想不到的收获. 讨论结果:略. 能. 2 AB =OB -OA =(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图 2) 结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标. 提出问题 如何用坐标表示两个共线向量? 若 a a=(x1,y1),b b=(
9、x2,y2),那么 y x 1 1 = y x 2 2 是向量 a a.、b b 共线的什么条件? 活动: :教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的 学生给以必要的点拨:设 a a.=(x1,y1),b b=(x2,y2),其中 b b0.我们知道,a a.、b b 共线,当且仅当存在 实数 ,使 a a=b b.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=(x2,y2), 即 x 1 y 1 x , 2 消去 后,得 x1y2-x2y1=0. y . 2 这就是说, 当且仅当 x1y2-x2y1=0 时向量 a a.、b b(b b0)共线. 又我们知道 x1
10、y2-x2y1=0 与 x1y2=x2y1是等价的,但这与 y x 1 1 = y x 2 2 是不等价的.因为当 x1=x2=0 时,x1y2-x2y1=0 成立,但 y x 1 1 = y x 2 2 均无意义.因此 y x 1 1 = y x 2 2 是向量 a a、b b 共线的充分不必要条件.由 此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点. 讨论结果: :x1y2-x2y1=0 时,向量 a a.、b b(b b0 0)共线. 充分不必要条件. 提出问题 a a 与非零向量 b b 为共线向量的充要条件是有且只有一个实数 使得 a a.=b b, 那么这个充要条件
11、如何用坐标来表示呢? 活动: :教师引导推证:设 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2),其中 b ba a, 由 a a=b b,(x1,y1)=(x2,y2) x 1 y 1 x y 2 ,消去 ,得 x1y2-x2y1=0. 讨论结果:a a.b b(b b0 0)的充要条件是 x1y2-x2y1=0. 教师应向学生特别提醒感悟: 1消去 时不能两式相除,y1、y2有可能为 0,而 b b0 0,x2、y2中至少有一个不为 0. 2充要条件不能写成 y x 1 1 = y x 2 2 (x1、x2有可能为 0). 3从而向量共线的充要条件有两种形式:a a.b b(b b0 0)
12、 a b, x 1 y x y 2 2 1 0. 应用示例 思路 1 1 例 1 已知 a a=(2,1),b b=(-3,4),求 a a+b b,a a-b b,3a a+4b b 的坐标. 活动: :本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的 坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线 段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐 标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成. 解:a:a+b b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5); a a-b b=(2,1)-(-3,4
13、)=(5,-3); 3 3a a+4b b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19). 点评: :本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式. 变式训练 (2007 海南高考,4)已知平面向量 A.=(1,1),b=(1,-1),则向量 1 2 a a- 3 2 b b 等于( ) A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) 答案: :D 例 2 如图 3,已知 A.BCD的三个顶点 A.、B、C 的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求 顶点 D 的坐标. 图 3 活动: :本例的目的仍然是
14、让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用 “两个向量相等,”则它们的坐标相等 ,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平 行四边形法则求得向量 OD 的坐标,进而得到点 D 的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中 各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点 D 的坐标表示为已知点的坐标. 解: :方法一:如图 3,设顶点 D 的坐标为(x,y). AB =(-1-(-2),3-1)=(1,2),DC =(3-x,4-y). 由 AB = DC ,得(1,2)=(3-x,4-y). 3 x, 1 2 4 y. x y 2, 2. 顶点 D 的坐标为(
15、2,2). 方法二:如图 3,由向量加法的平行四边形法则,可知 BD = BA + AD = BA + BC =(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1), 而OD =OB + BD =(-1,3)+(3,-1)=(2,2), 顶点 D 的坐标为(2,2). 点评: :本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算. 变式训练 如图 4,已知平面上三点的坐标分别为 A.(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点 D 的坐标使这四点构成 平行四边形四个顶点. 4 图 4 解: :当平行四边形为 A.BCD 时,仿例 2 得:D1=(2,2); 当平行四边形为 A.CD
16、B时,仿例 2 得:D2=(4,6); 当平行四边形为 DA.CB时,仿上得:D3=(-6,0). 例 3 已知 A.(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断 A.、B、C 三点之间的位置关系. 活动: :教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个 向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进 一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图像领悟 先猜后证的思维方式. 解: :在平面直角坐标系中作出 A.、B、C 三点,观察图形,我们猜想 A.、B、C 三点共线.下面给出 证明.
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