高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积教案苏教版必修420170824342.wps
《高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积教案苏教版必修420170824342.wps》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积教案苏教版必修420170824342.wps(33页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、2.42.4 向量的数量积 整体设计 教学分析 课本从学生熟知的功的概念出发,引出了平面向量数量积的概念及其几何意义,接着介绍 了向量数量积的 5 个重要性质、运算律向量的数量积把向量的长度和三角函数联系起来,这 样为解决三角形的有关问题提供了方便,特别能有效地解决线段的垂直问题因此利用向量运 算可以讨论一些几何元素的位置关系既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向 量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、 线、面)之间度量关系的基本量 我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系众所周知,向量概念 的引入与物理学的研究密切相关
2、,物理学家很早就知道,如果一个物体在力 F F 的作用下产生位 移 s s(如图 1),那么力 F F 所做的功 图 1 W|F|sF|s|cos. 功 W“是一个数量,其中既涉及 长度”“,也涉及 角”,而且只与向量 F F,s s 有关熟悉的 数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义 abab|a|b|a|b|cos. 这个定义不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简捷 地表述几何中的许多结果 向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的 物理意义、几何意义但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果
3、不是向量而是数量 平面向量的数量积,教材将其分为两部分,在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向 量所成的角,其次,介绍了向量数量积的定义,最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本 结论;在第二部分平面向量数量积的坐标表示中,在平面向量数量积的坐标表示的基础上,利 用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式,得到了两向量垂直的判定的方法 1 本节课可采用“启发探索”式的教学方法,从教材内容看,由于前面已经学习了平面向量 的线性运算的坐标表示,因此在教学中运用指导探究为教学的主线,通过启发引导学生运用科 学的思维方法进行自主探索,将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等探索活动贯穿于课堂 教
4、学的全过程,突出学生的主体地位 三维目标 1通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其几何意义;掌握平面向量数量积的重 要性质及运算律;了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,并掌握向 量垂直的条件 2通过问题的解决,培养学生观察问题、分析问题和解决问题的实际操作能力;培养学 生的交流意识、合作精神;培养学生叙述表达自己解题思路和探索问题的能力 3通过探究平面向量的数量积的坐标运算,掌握两个向量数量积的坐标表示方法;掌握 两个向量垂直的坐标条件以及能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直 等几何问题 4通过平面向量数量积的坐标表示,进一步加深学生对平面向量数量
5、积的认识,提高学 生的运算速度,培养学生的运算能力,培养学生的创新能力,提高学生的数学素质 重点难点 教学重点:平面向量数量积的定义,平面向量数量积的坐标表示 教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用,平面向量 坐标表示的应用 课时安排 2 课时 教学过程 第 1 1 课时 导入新课 思路 1 1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线 段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系, 将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答地更简捷、更清晰并且向量知识不仅是解 决物理许多问题的有利工具,而且用
6、数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题, 可使我们对物理问题认识更深刻物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量, 2 这些物理现象都可以用向量来研究 在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力 F F 的作用下产生位移 s s,那么力 F F 所做的功 W 可由下式计算: W|F|sF|s|cos. 其中 是 F F 与 s s 的夹角我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量) 故从力所做的功出发,我们就顺其自然的引入向量数量积的概念 思路 2 2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差 仍是一个向量我们结合任意的两个实数之间
7、可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地 会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢?如果能,其运算结果是什么呢? 推进新课 Error! 1平面向量数量积的概念,向量的夹角 2数量积的重要性质及运算律 3两向量垂直的条件 活动:已知两个非零向量 a a 与 b b,我们把数量|a|b|a|b|cos 叫做 a a 与 b b 的数量积(或内积), 记作 abab,即 abab|a|b|a|b|cos(0),其中 是 a a 与 b b 的夹角图 2 为两向量数量 积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是 0180. 图 2 教师在与学生的一起探究活动中,应特别点拨引导学生注意: (1)两
8、个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的 余弦的乘积; (2)零向量与任一向量的数量积为 0,即 a a00; (3)“符号 ”“在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用 ”代替; (4)当 00,从而 abab0;当 0,则ABC 是锐角三角形; 在ABC 中,若ABBC0,则ABC 为钝角三角形; ABC 为直角三角形ABBC0; ABC 为斜三角形ABBC0. 其中为真命题的是( ) A B C D 3设|a a|8,e e为单位向量,a a与 e e的夹角为 60,则 a a在 e e方向上的投影为( ) 10 A4 3 B4 C4 2 D. 3 2
9、4设 a a,b b,c c是任意的非零平面向量,且它们相互不共线,有下列四个命题: (abab)c c(caca)b b0; |a|a|b| 且 1 6 6 10解:由向量的数量积的定义得 abab21cos 1. 3 m m2a2ab b, m m2 24a4a2 2b b2 24ab4ab4 44 41 14 41 12121, |m|m| 21. 又n na a4b4b, n n2 2a a2 216b16b2 28ab8ab416812. |n n|2 3. 设 m m与 n n的夹角为 , 则 mnmn|m|n|m|n|cos. 又 mnmn2a2a2 27ab7ab4b4b224
10、743, 把 mnmn3 3,|m|m| 2121,|n|n|2 2 3 3代入式,得3 3 21212 2 3 3cos, 7 cos , 14 7 即向量 m m与向量 n n的夹角的余弦值为 . 14 ( (设计者:仇玉法) ) 第 2 2 课时 导入新课 思路 1 1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法,向量的表示形式不同,其运算的表示方 式也会改变向量的坐标表示,为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方 便上一节,我们学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示,对平面向量的数量积的表 示方式又会带来哪些变化呢?由此直接进入主题 思路 2 2.在平面直角坐标系中,平面向量可以
11、用有序实数对来表示,两个平面向量共线的 条件也可以用坐标运算的形式刻画出来,那么学习了平面向量的数量积之后,它能否用坐标来 表示?若能,如何通过坐标来实现呢?平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗?同时,平 面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢?通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标 表示,在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示 12 推进新课 Error! 1平面向量的数量积的坐标表示和运算,向量垂直的坐标表示 2由向量的坐标计算其数量积并由坐标形式求两个向量的夹角 3运用向量垂直的坐标表示的条件解决一些综合问题 活动:平面向量的数量积这个实数如何用坐标表示,是培养学生数
12、形结合这种重要思想方 法的很好内容,在教学中抓住数形结合这条主线,不但推出了两个向量的数量积等于它们对应 坐标的乘积的和,推出平面内两点间的距离公式,并应用平面向量的数量积的坐标表示解决问 题,这样不但能够提高学生的解题能力,而且培养学生会运用数形结合这种重要思想方法 本节课开始时应向学生指出:对平面向量的数量积的研究不能仅仅停留在几何角度,还要 寻求其坐标表示;在引入新知识之前应复习前面的有关知识,如平面向量,两个向量的和与差, 实数与向量的积的坐标表示,以及平面向量的基本定理 应将平面向量数量积的两种形式结合起来,交待等式 a ab b|a a|b b|cosx1x2y1y2,其 中 a
13、a(x1,y1),b b(x2,y2)这个等式体现了数与形的结合,揭示了数与形的内在联系教 学中还应注意设计综合性问题,加强与前段知识的联系 若两个向量为 a a(x1,y1),b b(x2,y2),如何用 a a,b b 的坐标来表示它们的数量积 a ab?b? 设 i i,j j 分别是 x 轴和 y 轴上的单位向量, 则 i ii i1,j jj j1,i ij jj ji i0. a ax1i iy1j j,b bx2i iy2j j, abab(x1i iy1j j)(x2i iy2j j) x1x2i i2x1y2ijijx2y1ijijy1y2j j2. 又iiii1 1,jjj
14、j1 1,ijijjiji0, ababx1x2y1y2. 教师给出结论性的总结,由此可归纳如下: (1)平面向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和, 即 a a(x1,y1),b b(x2,y2),则 ababx1x2y1y2. (2)向量模的坐标表示 若 a a(x,y),则|a a|2x2y2,或|a a| x2y2. 如果表示向量 a a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),那么 13 a a(x2x1,y2y1),|a a| x2x12y2y12. (3)两向量垂直的坐标表示 设 a a(x1,y1),b b(x2,y2),则
15、abab x 1x2y1y20. (4)两向量夹角的坐标表示 设 a a、b b 都是非零向量,a a(x1,y1),b b(x2,y2), 是 a a 与 b b 的夹角,根据向量数量积 的定义及坐标表示可得: abab x1x2y1y2 cos . |a|b|a|b| x21y21 x2y2 特别地,若 a ab b,则 x1x2y1y20; 反之,若 x1x2y1y20,则 a ab b. Error! 例 1 课本本节例 2. 例 2 课本本节例 3. 变式训练 1(1)已知三点 A(2,2),B(5,1),C(1,4),求BAC 的余弦值; (2)a a(3,03,0),b b(5,
16、55,5),求 a a 与 b b 的夹角 活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量 a a(x1,y1)与 b b(x2,y2)的数量积 abab x1x2y1y2和模|a a| x21y21,|b b| x 的积,其比值就是这两个向量夹角的余弦值, 2y2 abab x1x2y1y2 即 cos .当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小 x21y21 x2y |a|b|a|b| 2 时,需注意两向量夹角的范围是 0.学生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示 清楚,以免出现不必要的错误 解:(1)AB(5,1)(2,2)(3,3),AC(1,4)(2,2)(1,6), ABAC
17、3(1)3615. 又|AB| 32323 2,|AC| 1262 37, ABAC 15 5 74 cosBAC . 74 3 2 37 |AB|AC| (2)abab3(5)0515,|a|a|3 3,|b|b|5 2. 14 abab 15 2 设 a a 与 b b 的夹角为 ,则 cos . |a|b|a|b| 3 5 2 2 3 又0, . 4 点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角利用基本公式进行运算与求解 主要是对基础知识的巩固与提高 2设 a a(5 5,7 7),b b(6 6,4 4),求 abab 及 a a、b b 间的夹角 (精确到 1) 解:abab
18、5(6)(7)(4)30282. |a a| 5272 74,|b b| 62 42 52, 2 由计算器得 cos 0.03. 74 52 利用计算器得 92. 例 3 课本本节例 4. 变式训练 1已知 A(1,2),B(2,3),C(2,5),试判断ABC 的形状,并给出证明 活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题判断平面图形 的形状,特别是三角形的形状时主要看边长是否相等,角是否为直角可先作出草图,进行 直观判定,再去证明在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模长相等,则此 平面图形与平行四边形有关;若三角形的两条边所在的向量模长相等或者有两边所在向
19、量的 数量积为零,则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形教师可以让学生多总结几种判断 平面图形形状的方法 解:在平面直角坐标系中标出 A(1,2),B(2,3),C(2,5)三点,我们发现ABC 是直角三角 形下面给出证明 AB(21,32)(1,1), AC(21,52)(3,3), ABAC1(3)130. ABAC. ABC 是直角三角形 点评:本题考查的是向量数量积的应用,利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形 15 状当给出要判定的三角形的顶点坐标时,首先要作出草图,得到直观判定,然后对你的结 论给出充分的证明 2在ABC 中,AB(2,3),AC(1,k),且ABC 的一个内
20、角为直角,求 k 的值 解:由于题设中未指明哪一个角为直角,故需分别讨论 若A90,则ABAC,所以ABAC0, 于是 213k0. 2 故 k . 3 11 同理可求,若B90时,k 的值为 . 3 3 13 若C90时,k 的值为 . 2 2 11 3 13 故所求 k 的值为 或 或 . 3 3 2 例 4 已知|a a|3,b b(2,3),试分别解答下面两个问题: (1)若 a ab b,求 a a;(2)若 a ab b,求 a a. 活动:对平面中的两向量 a a(x1,y1)与 b b(x2,y2),向量垂直的坐标表示 x1x2y1y20 与向量共线的坐标表示 x1y2x2y1
21、0 很容易混淆,要让学生在应用中深刻领悟其本质属性, 两向量垂直是 abab0,而共线是方向相同或相反教师可多加强反例练习,多给出这两种类 型的同式变形训练,以此巩固并能熟练地掌握和运用 解:(1)设 a a(x,y),由|a a|3 且 a ab b,得Error! 解得Error!或Error! 9 6 9 6 a a( 13, 13)或 a a( 13, 13) 13 13 13 13 (2)设 a a(x,y),由|a a|3 且 a ab b,得Error! 解得Error!或Error! 6 9 6 9 a a( 13, 13)或 a a( 13, 13) 13 13 13 13
22、点 评:本题主要考查学生对公式的掌握情况,学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂 直或者共线,也能熟练地进行公式的逆用,利用已知关系来求向量的坐标. 变式训练 16 1 求证:一次函数 y2x3 的图象(直线 l1)与一次函数 y x 的图象(直线 l2)互相垂 2 直 证明:在 l1:y2x3 中,令 x1 得 y1;令 x2 得 y1,即在 l1上取两点 A(1, 1),B(2,1) 同理,在直线 l2上取两点 C(2,1),D(4,2),于是: AB(2,1)(1,1)(21,11)(1,2), CD(4,2)(2,1)(42,21)(2,1) 由向量的数量积的坐标表示,可得ABCD1(
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高中数学 第二 平面 向量 2.4 数量 教案 苏教版 必修 420170824342
链接地址:https://www.31doc.com/p-2895064.html