高中数学第二章平面向量2.5从力做的功到向量的数量积优化训练北师大版必修420170825361.wps
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1、2.52.5 从力做的功到向量的数量积 5 5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列命题中正确的个数有( ) a a0 0=0 0 0a=0 0- AB =BA |a ab b|=|a a|b b| 若 a a0,则对任一非零 b b 有 a ab b0 a ab b=0,则 a a 与 b b 中至少有一个为 0 a a 与 b b 是两个单位向量,则 a a2=b b2 A.7 B.5 C.4 D.2 解析:7 个命题中只有正确. 对于,两个向量的数量积是一个实数,应有 0a a=0; 对于,应有 0a a=0;对于,由数量积定义,有|a ab b|=|a a|b b|cos|a
2、a|b b|,这里 是 a a 与 b b 的夹角,只有 =0 或 = 时,才有|a ab b|=|a a|b b|; 对于,若非零向量 a a、b b 垂直,有 a ab b=0; 对于,由 a ab b=0 可知 a ab b,可以都非零. 答案:D 2.已知|a a|=3,|b b|=6,当a ab b,a ab b,a a 与 b b 的夹角为 60时,分别求 a ab b. 解:当 a ab b 时,若 a a 与 b b 同向,则它们的夹角 =0, a ab b=|a a|b b|cos0=361=18; 若 a a 与 b b 反向,则它们的夹角 =180, a ab b=|a
3、a|b b|cos180=36(-1)=-18. 当 a ab b 时,它们的夹角 =90, a ab b=0. 当 a a 与 b b 的夹角是 60时,有 a ab b=|a a|b b|cos60=36 1 2 =9. 3.已知|a a|=10,|b b|=12,a a 与 b b 的夹角为 120,求 a ab b. 解:由定义,a ab b=|a a|b b|cos=1012cos120=-60. 1010分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.给出下列命题: 在ABC 中,若 AB BC 0,则ABC 是锐角三角形; 在ABC 中,若 AB BC 0,则ABC 是钝角三角形; AB
4、C 是直角三角形 AB BC =0; ABC 是斜三角形一定有 AB BC 0. 其中,正确命题的序号是_. 解析: AB BC 0.B 是锐角,但并不能断定其余的 两个角也是锐角.推不出ABC 是锐角三角形.故命题是假命题. AB BC 0, BA BC =-AB BC 0.A 是钝角,因而ABC 是钝角三角形.故命 题是真命题. 1 ABC 是直角三角形,则直角可以是A,也可以是B、C.而 AB BC =0仅能保证B 是直角.故命题是假命题. 一方面,当ABC 是斜三角形时,其三个内角均不是直角,故 AB BC 0.故命题是真 命题. 答案: 2.若向量 a a、b b、c c 满足 a
5、a+b b+c c=0,且|a a|=3,|b b|=1,|c c|=4,则 a ab b+b bc c+a ac c=_. 解法一:a a+b b+c c=0, (a a+b b+c c)2=a a2+b b2+c c2+2a ab b+2b bc c+2a ac c=0. 2(a ab b+b bc c+a ac c)=-(a a2+b b2+c c2)=-(|a a|2+|b b|2+|c c|2)=-(32+12+42)=-26.a ab b+b bc c+a ac c=- 13. 解法二:根据已知条件可知|c c|=|a a|+|b b|,c c=-a a-b b,所以 a a 与
6、b b 同向,c c 与 a a+b b 反向.所以有 a ab b+b bc c+a ac c=3cos0+4cos180+12cos180=3-4-12=-13. 答案:-13 3.已知 a a、b b 是两个非零向量,同时满足|a a|=|b b|=|a a-b b|,求 a a 与 a a+b b 的夹角. 解法一:根据|a a|=|b b|,有|a a|2=|b b|2. 又由|b b|=|a a-b b|,得|b b|2=|a a|2-2a ab b+|b b|2,a ab b= 1 2 |a a|2. 而|a a+b b|2=|a a|2+2a ab b+|b b|2=3|a a
7、|2,|a a+b b|= 3 |a a|. 1 | a | 2 | a | a(a a | a b 3 设 a a 与 a a+b b 的夹 角为 ,则 cos = | b | a | a | 3 2 , =30. 解法二:设向量 a a=(x1,y1),b b=(x2,y2), |a a|=|b b|,x12+y12=x22+y22. 1 1 由|b b|=|a a-b b|,得 x1x2+y1y2= (x12+y12),即 a ab b= (x12+y12). 2 2 1 由|a a+b b|2=2(x12+y12)+2 (x12+y12)=3(x12+y12),得|a a+b b|=
8、3 (x12+y12). 2 设 a a 与 a a+b b 的夹角为 ,则 1 2 (x 1 2 2 (x 1 2 y ) 2 y ) a(a a | a b) 1 1 2 cos= | | b 2 x 1 y 2 2 x 1 y 2 3 1 1 3 2 , =30. 解法三:根据向量加法的几何意义,在平面内任取一点 O,作OA=a a,OB =b b,以 OA、OB为邻 边作平行四边形 OACB. |a a|=|b b|,即|OA|=|OB |, OACB 为菱形,OC 平分AOB,这时OD =a a+b b, BA =a a-b b.而|a a|=|b b|=|a a-b b|,即|OA
9、|=|OB |=| 2 BA |. AOB 为正三角形,则AOB=60,于是AOC=30, 即 a a 与 a a+b b 的夹角为 30. 4.若(a a+b b)(2a a-b b),(a a-2b b)(2a a+b b),试求 a a 与 b b 的夹角的余弦值. 解:由(a a+b b)(2a a-b b),(a a-2b b)(2a a+b b)有 (a (a b) (2a b) 0, 2a 2 即 2b) (2a b) 0, 2 2a a b b 3a 0, 0, a a2= 5 8 b b2,|a a|2= 5 8 |b b|2, | a a|= 5 8 |b b|. 由 2a
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