高中数学第二章平面向量2.7向量应用举例2.7.2向量的应用举例教案北师大版必修4201708252.wps
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1、2.7.22.7.2 向量的应用举例 整体设计 教学分析 向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向 线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系, 将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物 理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使 我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这 些物理现象都可以用向量来研究. 用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们
2、的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功 即是力与所产生位移的数量积. 用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相 关的向量问题; 认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系; 利用向量知识解决这 个向量问题,并获得这个向量的解; 利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知 识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的 数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量 模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可
3、以充分发挥现实原型对抽象的数 学概念的支撑作用. 三维目标 1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物 理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向 量运算的认识. 2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数 学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学 及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯. 重点难点 教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算. 2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
4、教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系. 说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢?它就像高速公路一 样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开 新课. 思路 2.2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又 有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的 例子吗?你是怎样解决的?教师由此引导:向量是有广
5、泛应用的数学工具,对向量在物理中的研 究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在 物理中的重要作用.由此自然地引入新课. 推进新课 1 应用示例 例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上 做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗? 图 1 活动: :这个日常生活问题可以抽象为如图1 所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则, 力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数 学中的向量问题.只要分析清楚 F F、G G、 三者之间的关系(
6、其中,F F 为 F F1、F F2的合力),就得到了 问题的数学解释. 在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F F|、|G G|、 之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在 物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证. 用向量解决物理问题的一般步骤是: 问题的转化,即把物理问题转化为数学问题; 模型 的建立,即建立以向量为主体的数学模型; 参数的获得,即求出数学模型的有关解理论参 数值; 问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象. 解: :不妨设|F F1|=|F F2|,由向量的
7、平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 cos 1 | G | | G | 2 | F | . 1 1 2 | F | 2 cos 2 通过上面的式子,我们发现:当 由 0到 180逐渐变大时, 2 由 0到 90逐渐变大,cos 2 的值由大逐渐变小,因此|F F1|由小逐渐变大,即 F F1,F F2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省 力. 点评: :本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引 体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从 数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利
8、用好这个模型,为解决其 他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优 越性的具体体现. 变式训练 某人骑摩托车以 20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为 40 km/h 时他, 又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速. 图 2 解: :如图 2 所示.设 v1表示 20km/h的速度,在无风时,此人感到的风速为-v1,实际的风速为 v,那 2 么此人所感到的风速为 v+(-v1)=v-v1. 令 AB =-v v1,AC=-2v v1,实际风速为 v v. DA + AB = DB , DB =v v-v v1,这就是骑
9、车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. DA +AC=DC, DC=v v-2v v1, 这就是当车的速度为 40km/h时,骑车人感受到的风速. 由题意得DCA=45,DBAB,AB=BC, DCA 为等腰三角形,DA=DC,DAC=DCA=45. DA=DC= 2 BC=20 2 . |v v|=20 2 km/h. 答:实际的风速 v v 的大小是 20 2 km/h,方向是东南方向. 例 2 如图 3 所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子 弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度 h.设子弹和砂箱的质量分别为 m 和 M,求子弹的 速度 v 的大
10、小. 图 3 解: :设 v v0 为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以 m|v v|=(M+m)|v v0|. 由于机械能守恒,所以 1 2 (M+m)v v02=(M+m)gh. 联立解得|v v|= M 2gh . m m 又因为 m 相对于 M 很小, 所以|v| M 2gh , m 即子弹的速度大小约为 M 2gh . m 例 3 一架飞机从 A 地向北偏西 60的方向飞行 1 000 km到达 B 地,然后向 C 地飞行.设 C 地恰 好在 A 地的南偏西 60,并且 A,C两地相距 2 000 km,求飞机从 B 地到 C 地的位移. 3 图 4
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