高中数学第四章定积分4.2微积分基本定理教案2北师大版选修2_220170927362.wps
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1、微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-莱布尼兹公式求简 单的定积分 过程与方法:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法 情感态度与价值观:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关 系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二、教学重难点 重点通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义, 并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点 了解微积分基本定理的含义 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一)、复习:定积分的概念及用定义计算 (二)、探究新课 我们
2、讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方 法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般的方法。 变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 设一物体沿直线作变速运动,在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t)( v(t) o ), 则物体在时间间隔 T ,T 内经过的路程可用速度函数表示为 1 2 T 2 T 1 v(t)dt 。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数 S(t)在 T ,T 上的增量 1 2 S(T ) S(T ) 来表达, 1 2 即 T 2 T 1 v(t)dt= S(T ) S(T ) 1 2 - 1 - 而 S(t)
3、v(t) 。 对于一般函数 f (x) ,设 F(x) f (x) ,是否也有 b a f (x)dx F(b) F(a) 若上式成立,我们就找到了用 f (x) 的原函数(即满足 F(x) f (x) )的数值差 F(b) F(a) 来计算 f (x) 在a,b上的定积分的方法。 注:1:定理 如果函数 F(x)是a,b上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数,则 b a f (x)dx F(b) F(a) x 证明:因为 (x) = f (t)dt a 与 F(x)都是 f (x) 的原函数,故 F(x)-(x) =C( a x b ) a 其中 C 为某一常数。 令 x a 得 F(a
4、) -(a) =C,且 (a) = f (t)dt a =0 x 即有 C=F(a) ,故 F(x)=(x) +F(a) (x) =F(x)-F(a) = f (t)dt a b 令 x b,有 f (x)dx F(b) F(a) a 此处并不要求学生理解证明的过程 b b 为了方便起见,还常用 F(x) |b 表示 F(b) F(a) ,即 f (x)dx F(x) | F(b) F(a) a a a 该式称之为微积分基本公式或牛顿莱布尼兹公式。它指出了求连续函数定积分的一般方法, 把求定积分的问题,转化成求原函数的问题,是微分学与积分学之间联系的桥梁。 它不仅 揭示了导数和定积分之间的内在
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