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1、第六章 层合板的弯曲、屈曲和振动问题,6-1 基本假定,6-2 层合板的弯曲、屈曲和振动问题的基本微分方程,6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲,6-5 各种特殊简支层合板的振动问题,6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷作用下的弯曲,6-1 引言和基本假定,一.引言,本章的目的主要是论述层合板物理方程中所出现的三种耦合刚度: 拉伸和弯曲耦合刚度 Bij 拉伸和剪切耦合刚度 A16,A26 弯曲与扭转耦合刚度 D16,D26 对层合板弯曲、屈曲和振动性能的影响, 及其给基本微分方程带来的复杂性,特别是通过某些重要结果来讨论: 对称角铺设层合板的D16,D26 的重要性; 反对称正交铺
2、设和反对称角铺设层合板的 Bij 的作用。,1、直法线假定:(Kirchhoff 克希霍夫) 层合板变形前垂直于中面的法线,在变形后 ,仍 垂直于中面,而且长度不变,3、变形很小,认为是小挠度理论(弯曲问题) 认为是小应变理论(屈曲、振动问题) 4、忽略体积力,二.基本假定,一、弯曲问题的基本微分方程: 1、几何方程:,注意:下标“0”表示中面位移,6-2 层合板的弯曲、屈曲和振动问题 的基本微分方程,2、物理方程:,今后为方便起见,将下标“0”去掉,位移全是中面位移。,3、平衡方程(没有体积力),写成简写形式:,将几何方程代入物理方程,用中面位移表示平板内力。再把内力表达式代入平衡方程就得到
3、层合板弯曲问题的基本微分方程(简写形式),4. 边界条件: 每个基本微分方程组是四阶的,积分常数为四个,所以每个边界需给出四个边界条件。 通常分简支边和固支边,即使都是简支边或固支边,又由于中面位移或内力不同条件给出不同的边界条件.,简支边:S,S1 S2 S3 S4,n,t,固支边: (C),二、层合板的屈曲问题基本微分方程 几何、物理与弯曲问题相同,C1 C2 C3 C4,平衡方程:,变分符号,屈曲前平板保持平的,当外载荷达到某一临界值时,层合板产生微弯状态,即小变形范围。满足平衡方程。,像弯曲问题推导基本微分方程那样,将几何方程代入物理方程,再代入平衡方程,就可得以下方程:,前两个基本微
4、分方程形式上与弯曲的基本微分方程中的前两个完全一样,只要在位移导数前面加一个变分符号就行了。因为第三个平衡方程就不同。为此只有第三个基本微分方程形式上有一些不同,,边界条件: 简支边(S),固支边:,同上一样,S1 S2 S3 S4,三、振动问题基本微分方程 平衡方程:,与屈曲问题平衡方程相比较,只有第三个平衡方程右端项不同,振动问题有一个惯性力项。这里不再重复,包括边界条件。,四. 求解方法 1、解析方法 满足边界条件下,三个微分方程联立求解:在特定的边界条件下可采用分离变量法和双三角级数求解。(简化条件)正交异性. 2、近似能量法 Rayleigh-Ritz法, Kalekin法 3、有限
5、差分法 有限元法,一、特殊正交各向异性层合板 只需解一个挠度的微分方程:,如同各向同性板的弯曲微分方程的求解,采用双级数法。令: 可以满足上微分方程和简支边界条件. 对于均布载荷:,不必考虑面内边界有关u、v 的条件。,6-3 各种特殊层合板在横向均布载荷 作用下的弯曲,一. 对称角铺设层合板,微分方程为:,6-4 各种特殊层合板在面内压缩载荷作用下的屈曲,简支边界条件为:,D16,D26的存在,无法得到封闭解,变量不可分离,同样可以由Rayleigh Ritz法求解: 设屈曲位移为:,满足位移边界,不满足自然边界.,代入总势能表达式和运用最小势能原理:,由 为w满足平衡的条件。 在 和 时(
6、Boron/Epoxy)对三种 铺设所得解如图。 (1)正交各向异性解 (2)20层 对称角铺设。同上 (3)20层为, 考察弯扭耦合影响载荷:x方向均匀压缩Nx,可见弯扭耦合的影响与特殊正交各向异性解比较,弯扭耦合的影响降低了屈曲载荷(理论近似解与实际的比较是满意的,说明了近似解的可靠性)。,二, 反对称正交铺设层合板,考察 的影响 由于 ,屈曲微分方程是联立的。,对于S2简支边界条件,选取以下位移变分函数,设:,并令其满足微分方程得:,需求最小值在m,n为整数时。,(1),(2),(3),(1)(2)解出 表示代入(3)得存在非零解的条件是:,式中,对 的石墨/环氧反对称层板 的解如下图.
7、,板的长宽比a/b,(1)层时:B110。两层时,B11最大。a/b1时,B110的 正则比 值比二层时高出183!比四层时高出19,比六层时高出8。说 明 随着反对称正交铺层数的增加,拉弯耦合影响迅速衰减,铺层数N 2 时,耦合影响最大, 最低。在铺层数N6层时,耦合影响不容忽 视。 (2)在层数固定时,耦合影响的大小还与E1/E2有关,拉弯耦合影响随 E1/E2比值的升高而增大。 (3)整数波时 最小.,6-5 各种特殊简支层合板的振动问题 一.特殊正交各向异性层合板,所有耦合刚度均为0,只有一个振动微分方程:,满足简支边界条件(无u,v向),弹性体自由振动是时间的谐函数,所以可选作:,可
8、把问题分离为时间和空间的变分,合成的微分方程和边界条 件由空间的变分 来满足:,则振动微分方程存在非零解的条件为:,上式中各种频率w对应与不同的m,n值,即不同的振动波形。当 mn1时,得到最低频率基本频率。,对于 的特殊正交各向异性方 板和各向同性板的四个最低频率列与下表,其中系数k定义为:,各向同性板时,虚线为波结线(任何时间是零挠度的线),结论: 特殊正交各向异性板的四个最低频率与各向同性板 不同,特殊正交各向异性板显示了方向的选择。各向 同性板第二,三波形不同,频率相同。特殊正交各向 异性板的第二,四波型在x,y方向波结线不同时,频 率亦不相同。,二. 反对称角铺设层合板,振动微分方程
9、是联立的。,考察 的影响和铺设角变化的影响,选取以下位移变分:,和满足基本微分方程,可满足S3简支边界条件:,在B16=B26=0时,退化为特殊正交各向异性解。Tij均与m,n 有关不能直接导出 的最小值与m,n的简单关系。 数字计算结果表明: 在此处,拉弯耦合刚度的影响与铺层数,铺设角有关,以及 与材料性能E1/E2的大小有关。,存在非零解的频率条件为:,式中,2,4,6,0,10,20,30,40,50,E1/E2,02,04,06,08,10,小 结: Bij:层合板中弯曲和拉伸之间的耦合影响减少了层板的有效 刚度,一般会增加挠度和显著地降低屈曲载荷和振动 频率。 D16,D26:存在扭转与弯曲耦合的层合板,同样时挠度增 加,屈曲载荷和频率减少。 无论是存在拉弯耦合或弯扭耦合的情况,对于固定厚度的反对称或对称层合板的挠度,屈曲载荷和振动频率的影响随着铺层数的增加而迅速衰减(层数增加,意味着趋向均匀化),一般认为,当N6或8时,耦合影响可忽略不计。,
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