工程力学第12章.ppt
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1、第12章 压杆稳定,12.1 压杆稳定的概念 12.2 细长压杆的临界力 12.3 压杆的临界应力 12.4 压杆的稳定计算 12.5 提高压杆稳定性的措施 思考题 习题,12.1 压杆稳定的概念,为了研究细长压杆的稳定问题,可做如下实验:如图12-1()所示压杆,在杆端加轴向力F,当F不大时,压杆将保持直线平衡状态,当给一个微小的横向干扰力时,直杆只发生微小的弯曲,干扰力消除后, 杆经过几次摆动后仍恢复到原来直线平衡的位置,压杆处于稳定的平衡状态(图12-1())。当轴向力F逐渐增大,杆件将由原来稳定的平衡状态过渡到不稳定的平衡状态(图12-1())。显然,在过渡过程中存在临界状态。临界状态
2、时的轴向压力称为临界压力或临界载荷, 记为Fcr。当轴向力F大于临界力Fcr时,只要有一点轻微的干扰,杆件就会在微弯的基础上继续弯曲,甚至破坏(图12-1())。这时压杆处于不稳定状态。,图12-1,12.2 细长压杆的临界力,12.2.1 两端铰支压杆的临界力 设细长压杆的两端为铰支座(图12-2),杆轴线为直线,其临界力计算公式为,(12-1 ),该式称为临界荷载的欧拉公式。式中,EI为材料的抗弯刚度, l为压杆长度。注意, 惯性矩I应取压杆横截面的最小惯性矩。,图12-2,12.2.2 其他支承情况下压杆的临界力 当压杆两端的支承情况不同时,其临界力也不相同,但临界力的计算公式相似。对于
3、各种不同支承情况,临界力公式统一写成如下形式:,(12-2),这是欧拉公式的普遍形式。式中,是与压杆两端的支承情况有关的系数,称为长度系数。不同支承情况下的值列于表12-1中。 l称为相当长度。,表12-1 不同支承情况下的长度系数,例12-1 如图12-3所示压杆由14号工字钢制成,其上端自由,下端固定。已知钢材的弹性模量E=210GPa,屈服点s=240 MPa,杆长l=3103mm。试求该杆的临界力Fcr。 解 计算临界力。对14号工字钢,查型钢表得,压杆应在刚度较小的平面内失稳, 故取,由表12-1查得=2。 将有关数据代入式(12-2), 即得该杆的临界力,图12-3,12.3 压杆
4、的临界应力,12.3.1 临界应力 压杆在临界荷载的作用下保持直线平衡状态时,其横截面上的平均应力称为压杆的临界应力,用cr表示:,Imin和A与截面的尺寸和形状有关, 归并起来用惯性半径,表示,其单位为cm或mm。则:,(123),该式是欧拉公式的另一种表达式。式中,称为压杆的柔度, 是一个无量纲的量。它集中反映了压杆的长度(l)、横截面尺寸(i)和杆端约束情况()等因素对临界应力的综合影响, 因而是稳定计算中的一个重要参数。由式 可见,愈大,即杆愈细长, 则临界应力愈小, 压杆愈容易失稳; 反之, 愈小, 压杆就愈不易失稳。,12.3.2 欧拉公式的适用范围 欧拉公式是根据挠曲线近似微分方
5、程建立的,所以要求压杆的应力不超过材料的比例极限:,或,令,则欧拉公式的适用范围为,满足以上条件才可以使用欧拉公式计算压杆的临界应力。 这类压杆通常称为大柔度杆,也就是我们前边提到的细长压杆。 P仅与材料的弹性模量E、比例极限P有关,材料不同, 其P值不同。例如, Q235钢的E=206 Gpa,P=200 Pa,可得,12.3.3 超过比例极限时压杆的临界应力 工程中常用的压杆,通常其柔度小于P,即杆内的工作应力超过比例极限,欧拉公式已不适用,需要采用经验公式来计算临界应力。 常用的是直线公式, 即,(124),式中的a和b是与材料力学性质有关的常数,其单位为MPa。一些常用材料的a、b、P
6、、S值见表12-2。,表12-2 部分常用材料的a、b、P、S值,上述经验公式也有一个适用范围,例如对塑性材料制成的压杆,要求其临界应力不超过材料的屈服点, 即,将式(12-4)代入上式得,或,S是和屈服点对应的柔度,是能够使用经验公式的最小柔度值。即经验公式的适用范围为,满足SP的受压杆件称为中柔度杆或中长杆。,对于S的压杆,称为短粗杆或小柔度杆。短粗杆不会发生失稳破坏,因为当S时,即应力超过了材料的屈服点S或抗拉强度b,它的破坏是由强度破坏引起的。 若在形式上用稳定问题来研究, 可令临界应力,(125),综上所述,可将各类柔度压杆的临界应力计算公式归纳如下: (1) 大柔度杆(细长杆),用
7、欧拉公式,(2) 中柔度杆(中长杆), 用经验公式,(3) 小柔度杆(短粗杆), 用压缩强度公式,图12-4,例12-2 三个圆截面压杆,直径均为d=160mm,材料为235钢,a=304MPa, b=1.12MPa,E=206 MPa,P=200MPa, S=235MPa,各杆两端均为铰支,长度分别为l1=5103mm, l2=2.5103 mm, l3=1.25103mm。试计算各杆的临界力。 解(1) 计算杆件的横截面面积A、轴惯性矩I以及Q235钢的P、S:,(2) 计算各杆的临界力:,所以杆件1属于细长杆,用欧拉公式计算,得,所以杆件2属于中长杆,用直线公式计算如下,则3S, 所以杆
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