工程力学第12章弯曲变形.ppt
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1、,第十二章 弯曲变形,12-1 引言,研究弯曲变形的目的:,1.建立梁的刚度条件; 2.求解静不定梁; 3.利用弯曲变形,挠曲轴(线):梁弯曲变形后的轴线。,度量弯曲变形有两个量:挠度和转角,一、挠度(w):横截面的形心在垂直于变形前梁轴线方向上的 线位移(mm) 。,挠曲轴方程:,向上的挠度 向下的挠度,二、转角( ):横截面的角位移,也等于挠曲轴在该截面处的 切线与x 轴的夹角(rad)。,转角方程:,逆转 顺转,挠曲轴是挠度方程的函数曲线,三、挠度与转角的关系,在小变形下,12-2 挠曲轴近似微分方程,纯弯曲:,非纯弯曲:,(略去剪力对梁变形的影响),由高数知识可知,平面曲线 上任一点的
2、曲率为,挠曲轴微分方程,在小变形下 远小于1,挠曲轴方程简化为,挠曲轴近似微分方程,近似微分方程适用于弹性范围内小挠度平面弯曲。,12-3 积分法求弯曲变形,C、D 为积分常数,由以下两类条件确定:,1.边界条件:梁截面的已知位移条件或位移约束条件。如: 固定端截面,铰支座截面,弯曲变形对称截面,2.光滑连续条件:挠曲轴是一条光滑连续的曲线,任一截面 的挠度和转角只有一个确定的值。,转角方程,挠曲轴方程,例:图示为一悬臂梁,EI=常数,在其自由端受一集中力F 的作用,试求此梁的挠曲轴方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角。,解:(1)选取坐标系如图所示, 梁的弯矩方程为, 挠曲轴近似微分方
3、程,转角方程,挠曲轴方程,在固定端A,转角和挠度均应等于零,即, 确定积分常数,(4)梁的挠曲轴方程和转角方程分别为,梁的最大挠度和最大转角均在梁的自由端截面B 处, 确定最大挠度和最大转角,例:简支梁AB如图所示(图中a b),承受集中载荷F作用,梁的弯曲刚度为EI。求此梁的挠曲轴方程和转角方程,并确定挠度的最大值。,解: 列弯矩方程,建立如图坐标系,AC段(0 xa),CB段(a xl),积分,转角方程,挠曲轴方程,AC段(0 xa),CB段(a xl),挠曲轴近似微分方程,弯矩方程, 确定积分常数,解得:,挠曲轴方程, AC段(0 xa),CB段(a xl),转角方程,挠曲轴方程,转角方
4、程, 确定最大挠度,所以转角为零的点在AC 段,12-4 叠加法求弯曲变形,积分法:优点是可以求得转角和挠度的普遍方程。但当只需确定 某些特定截面的转角和挠度,而并不需求出转角和挠度 的普遍方程时,积分法就显得过于累赘;另外,当梁上 同时作用多个荷载时,采用积分法需确定多个积分常数。 叠加法:梁在若干载荷作用下的弯曲变形等于各载荷单独作用下 的弯曲变形之叠加。 应用前提:(1)线弹性范围内的小变形; (2)内力、应力和变形与载荷成线性关系。 工 具:附录D 注 意: (1)当载荷方向与表中载荷方向相反时,则变形要变号; (2)转角函数可由挠度函数微分一次得到。,例:图示简支梁,同时承受均布载荷
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