数理方程第1讲.ppt
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1、数学物理方程,第1讲,第一章 一些典型方程和定解条件的推导,数学物理方程,是指在物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出来的偏微分方程。,拉普利斯方程和泊松方程(描述引力势) 纳维-斯托克斯方程组(流体力学有黏 性)和欧拉方程组(无黏性) 圣维南方程组(弹性力学) 波动方程 热传导方程,古典数理方程,新的数理方程,麦克斯韦方程组(描述电磁场变化) 薛定谔方程组(微观粒子) 爱因斯坦方程(确定引力场) 广义扩散方程 流体力学方程的耦合,随着现代科学和技术的进步,将会不断涌现新的数学物理方程,而其产生和应用的范围已经更多地超出了传统的研究领域。,1.1 偏微分方程举例和基本概念,一. 偏微分方程举
2、例 二. 基本概念,1. 偏微分方程:方程中除了含有几个自变量和未知函数外,还含有未知函数的偏导数(也可仅含偏导数)的方程称为偏微分方程。,一般来说,它可以写成包含几个自变量x,y, 和这些变量的未知函数u及其偏导数的方程形式:,(1.1),方程(1.1)是在自变量x1,x2, 的n维空间Rn 中的一个适当的区域D内进行考察的,我们要求能找出在D内恒满足方程(1.1)的那些函数u。如果这种函数存在,那么称它们为方程的解。在这些可能解中,我们还要选出一个满足某些合适的附加条件的特解来。,例如偏微分方程:,容易验证下列两个函数:,(1.2),都是(1.2)的解。,2. 方程的阶:包含在偏微分方程中
3、的未知函数的偏导数的最高阶数称为方程的阶。,3. 线性偏微分方程:如果一个偏微分方程对于未知函数及它的所有偏导数来说都是线性的,且方程中的系数都仅依赖于自变量,那么这样的偏微分方程就称为线性偏微分方程。,例如: 书中例1.1、1.2,(二阶线性偏微分方程),否则称之为非线性偏微分方程。,书中例1.5,4. 半线性偏微分方程:若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的,而其系数不含有未知多元函数及其低阶偏导数,则称为半线性偏微分方程。如书中例1.6,5. 拟线性偏微分方程:若非线性方程中未知多元函数的所有最高阶偏导数都是线性的,而其系数含有未知多元函数或其低阶偏导数,则称为拟线性偏微
4、分方程。如书中例1.8,6. 非齐次项和非齐次方程:在线性偏微分方程中,不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项,而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书中例1.1,下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。,算子是一种数学法则,把它作用在一个函数上时,便产生另外一个函数。例如,在下列表达式中:,与,都称为微分算子。,我们定义具有下列性质的算子为线性算子。,(1)常数c可以从算子中提取出来,(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分别作用于两个函数所得结果之和。,现在来考察二阶线性偏微分方程:,如果取线性微分算子L为,那么上述偏微分方程可以写成:,或者简写为:,1.2 方程
5、及定解问题的物理推导,例1 弦的振动 设有一根均匀柔软的细弦, 其线密度为常数 . 长为l,两端被固定在O,A两点,且在单位长度上受到垂直于OA向上的力F作用。当它在平衡位置(取为x轴)附近作垂直于OA方向的微小横向振动时,求弦上各点的运动规律。,x,O,u,A,F,P,Q,x,x+x,所谓“横向”是指全部运动出现在一个平面上, 而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动. 所谓“微小”是指弦的振动幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小, 即弦在偏离平衡位置后,弦上任何一点的斜率远小于1.,x,O,u,T,a,T,P,Q,N,N,x,x+x,x,F,或,综合上述分析,由牛顿第二定律可得,又,,故,由于弦
6、作微小振动,,,则,代入(1.3)式可得,简写为,其中,方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。,应用微分中值定理可得,若外力消失F=0,则方程变为,上式称为弦的自由振动方程。,我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程,但在力学上弹性杆的纵振动,管道中气体小扰动的传播以及电报方程等问题,都可以归结为上述偏微分方程的形式。,只是其中的未知函数表示的物理意义不同。,例2 薄膜平衡方程 将均匀柔软的薄膜张紧于微翘的固定框架上,除膜自身的重力作用外,无其他外力作用。由于框架的微翘,薄膜形成一曲面。求静态薄膜上各点的横向位移。,设展平的薄膜所在平面为oxy坐标面,垂直于oxy面的方向称为薄膜的横向。
7、设薄膜的面密度为常数,薄膜所形成的曲面方程为u=u(x,y)。,用平行于oux与ouy的坐标面作平面任意截取薄膜微元PQRS,它在oxy坐标面上的投影四边分别平行于对应坐标轴的矩形PQRS,其顶点坐标如图所示。,T张力密度,沿边缘单位长度上的拉力。,由物理学可知,边缘上任一点的张力密度T的方向是在该点处的薄膜切平面内,垂直于边缘。,设,分别为PQ,RS,QR,SP四边上的,o,y,u,由微元力的平衡关系可得,即,设 ,则,这就是微翘的薄膜平衡方程。,通常我们称形如,的方程为二维泊松方程。 若薄膜自身的重力可忽略,即 ,则 ,这时方程(1.7)化为,称之为二维拉普拉斯方程(或调和方程)。,在三维
8、空间中,相应的有,当 时,,分别称之为三维泊松方程和拉普拉斯方程(调和方程)。,在数学上、物理学与工程技术中有很多典型问题都归结为求泊松方程或拉普拉斯方程的解。如热传导问题中定常温度分布、静电场的电势分布、不可压缩流体的定常无旋流场的速度位势等问题。,复习高等数学内容 以i,j,k分别表示沿x,y,z轴正向的单位向量, 则任何一个三维空间的点或者向量a可表示为 a=xi+yj+zk, 或表示为a=(x,y,z) 则二向量a1=(x1,y1,z1)和a2=(x2,y2,z2)的数量积或点积为: a1a2=x1x2+y1y2+z1z2 它们的向量积或叉积为,用M来代表三维空间中的一点x,y,z,
9、则一个数量场函数就是一个三元函数, 用f(M)表示. 一个向量场函数F(M), 表示每给一点, 都有一个向量与之对应, F(M)可表示为 F(M)= P(M)i+Q(M)j+R(M)k 其中P(M), Q(M), R(M)都是数量函数. 一个数量场函数f(M)在某点x,y,z的沿l方向的方向导数为,其中a,b,g为方向l的方向角。,数量场函数f(M)的梯度是一个向量场函数, 记为grad f(M),函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.,向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M处的散度是一个标量场函数, 记为d
10、iv F,divF在这里可看作稳定流动的不可压缩流体在点M的源头强度在单位体积内所产生的流体的质量. 如果为负, 表示点M处流体在消失.,向量场函数F(M)=P(M)i+Q(M)j+R(M)k在点M处的旋度是一个向量场函数, 记为rot F,向量微分算子的定义为,它又称为(Nabla)算子或哈密尔顿(Hmilton)算子. 运用向量微分算子, 设数量场函数为f(x,y,z), 向量场函数为F(x,y,z)=Pi+Qj+Rk,其中,称为拉普拉斯(Laplace)算子.,高斯公式和斯托克斯公式可分别写成,其中Fn为向量场函数在曲面元法线方向上的投影, 而Ft为向量场函数在曲线切线方向上的投影.,例
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