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1、1,数学物理方程,第4讲,2,第四章 拉普拉斯方程的格林函数法,4.1 拉普拉斯方程边值问题的提法,3,在第一章, 已从稳恒温度场的温度分布问题推导出了三维拉普拉斯方程,作为描述稳定和平衡等物理现象的拉普拉斯方程, 它不能提初始条件. 至于边界条件, 如第一章所述有三种类型, 应用得较多的是如下两种边值问题.,4,5,2.3中所讨论过的问题就是圆域内的狄氏问题. 拉普拉斯方程的连续解, 也就是说, 具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的连续函数, 称为调和函数. 所以, 狄氏问题也可以换一种说法: 在区域W内找一个调和函数, 它在边界G上的值为已知.,6,7,以上两个边值问题都是在边界G上给
2、定某些边界条件, 在区域内部求拉普拉斯方程的解, 这样的问题称为内问题. 在应用中我们还会遇到狄氏问题和牛曼问题的另一种提法. 例如, 当确定某物体外部的稳恒温度场时, 就归结为在区域W 的外部求调和函数u, 使满足边界条件u|G = f, 这里G 是W 的边界, f 表示物体表面的温度分布. 像这样的定解问题称为拉普拉斯方程的外问题.,8,由于拉普拉斯方程的外问题是在无穷区域上给出的, 定解问题的解是否应加以一定的限制? 基于在电学上总是假定在无穷远处的电位为零, 所以在外问题中常常要求附加如下条件:,9,10,(3) 狄氏外问题 在空间(x,y,z)的某一闭曲面G上给定连续函数f, 要找出
3、这样一个函数u(x,y,z), 它在G的外部区域W 内调和, 在W +G上连续, 当点(x,y,z)趋于无穷远时, u(x,y,z)满足条件(4.3), 并且它在边界G上取所给的函数值 u|G =f. (4.4),11,12,4.2 调和函数,13,设W是以足够光滑的曲面G 为边界的有界区域, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)是在W +G上连续的, 在W内具有一阶连续偏导数的任意函数, 则成立如下的高斯公式,其中dV是体积元素, n是G 的外法向矢量, dS是G 上的面积元素.,14,设函数u(x,y,z)和v(x,y,z)在W +G 上具有一阶连续偏导数, 在W 内具有连
4、续的所有二阶偏导数, 在(4.6)中令,则有,15,或,(4.7)式称为第一格林(Green)公式.,16,在公式(4.7)中交换u,v的位置, 得,将(4.7)与(4.8)式相减得到,(4.9)式称为第二格林公式.,17,(i) 调和函数的积分表达式 所谓调和函数的积分表达式, 就是用调和函数及其在区域边界G 上的法向导数沿G 的积分来表达调和函数在W 内任一点的值. 设M0(x0,y0,z0)是W 内某一固定点, 现在我们就来求调和函数在这点的值. 为此, 构造一个函数,18,19,20,Ke,M0,Ge,G,O,y,x,z,W,21,在球面Ge 上,22,23,其中,24,(4.12)说
5、明, 对于在W +G 上有连续一阶偏导数的调和函数u, 它在区域W 内任一点M0的值, 可通过积分表达式(4.12)用这个函数在区域边界G上的值及其在G上的法向导数来表示.,25,上面的推导是假定点M0(x0,y0,z0)在区域W 内, 如果M0在W 外或M0在边界G 上, 也可用同样方法推得另外两个式子, 把它们合并在一起可得,26,同样, 若u不是调和函数, 只要它在W +G 上有一阶连续偏导数, 而在W 内有二阶连续偏导数, 且2u=F, 可以得到类似的公式,27,(ii) 牛曼内问题有解的必要条件 设u是在以G 为边界的区域W 内的调和函数, 在W +G 上有一阶偏导数, 则在公式(4
6、.9)中取u为所给的调和函数, 取v1, 就得到,28,事实上, 这个条件也是牛曼内问题有解的充分条件(这里不证).,29,(iii) 平均值公式 将(4.12)应用于球面Ka, 注意到在Ka上有,以及,30,得到结论: 设函数u(M)在某区域W 内是调和的, M0是W 内任一点, Ka表示以M0为中心, 以a为半径且完全落在区域W 内部的球面, 则成立下列平均值公式,31,32,以u1,u2表示定解问题的两个解, 则它们的差v=u1-u2必是原问题满足零边界条件的解. 对于狄氏问题, v满足,对于牛曼问题, v满足,33,在(4.8)式中取u=v=u1-u2, 则得,由条件(4.16)或(4
7、.17)得,34,故在W 内必有 grad v0 即,或 vC. 对于狄氏问题, 由v|G=0, 得C=0, 故v=0.,35,36,4.3 格林函数,37,38,39,将(4.12)与(4.18)相减得,40,如果能选取调和函数v, 使满足,则(4.19)中的 项就消失了, 于是有,令,41,则(4.21)可表为,42,对于泊松方程的狄氏问题,若存在在 上一次连续可微的解, 它可表为,43,这样一来, 对任意函数f求解拉普拉斯方程或泊松方程的狄氏问题就转化为求此区域内的格林函数. 从(4.22)可知, 确定格林函数又必须解一个特殊的狄氏问题,44,虽然对于一般的区域, 求解问题(4.24)也
8、不是一件容易的事, 但公式(4.23)还是有重要意义的, 因为: (1) 格林函数仅依赖于区域, 而与原定解问题中所给的边界条件无关, 只要求得了某个区域的格林函数, 就能一劳永逸地解决这个区域上的一切边界条件的狄氏问题; (2) 对于某些特殊的区域, 如球, 半空间等, 格林函数可以用初等方法求得. 格林函数在静电学中有明显的物理意义. 设在闭曲面G 内一点M0处放一个单位正电荷, 则它在G 面内侧感应有一定分布密度的负电荷, 而在G 外侧分布有相应的正电荷.,45,46,4.4 几类特殊区域问题的求解,47,从(4.23)可知, 对于一个由曲面G 所围成的区域 , 只要求出了它的格林函数,
9、 则在这个区域内狄氏问题的解就能以积分形式表示出来. 对于某些特殊的区域, 它的格林函数可以用电象法求得. 所谓电象法就是在区域G 外找出M0关于边界G 的象点M1, 然后在这个象点放置适当的负电荷, 由它产生的负电位与M0点单位正电荷所产生的正电位在曲面G 上互相抵消, 由于M0在G 内部, 它关于G 的象点M1则在G 的外部, 所以, 放在M1处的点电荷所形成的电场的电位在G 内部就是调和函数v.,48,而根据要求, 有,故在M0与M1处两个点电荷所形成的电场在G 内的电位就是所要求的格林函数. 下面以半空间, 球域为例说明电象法的应用.,49,4.4.1 半空间的格林函数 求解拉普拉斯方
10、程在半空间z0内的狄氏问题, 就是求函数u(x,y,z)使适合,首先找格林函数G(M,M0), 在半空间z0的M0(x0,y0,z0)点置单位正电荷, 并找出M0关于z=0平面的对称点M1(x0,y0,-z0), 在M1点置单位负电荷, 则它与M0点的单位正电荷所产生的电位在平面z=0上相互抵消.,50,M1(x0,y0,-z0),M(x,y,z),M0(x0,y0,z0),z,x,y,O,51,就是半空间z0的格林函数.,52,53,将(4.27)代入(4.23)中, 得到问题(4.25)的解为,54,4.4.2 球域的格林函数,55,M1,M0,P,R,O,56,或,57,即,58,所以,
11、 球域的格林函数为,现在利用格林函数求球域内的狄氏问题,为此, 我们要算出 注意到,59,其中r=rOM, g 是OM0与OM的夹角(当然也是OM1与OM的夹角), 于是,60,在球面G 上,代入(4.23)可得球内狄氏问题的解为,61,或写成球坐标的形式,其中(r0, q0, j0)为点M0的坐标, (R,q,j)是球面G 上点P的坐标, cosg是OM0与OP夹角的余弦.,62,因为向量OM0, OP的方向余弦分别为 (cosq0cosj0, sinj0sinq0, cosq0) 与 (cosqcosj, sinqsinj, cosq), 所以 cosg=cosqcosq0+ sinqsinq0(sinjsinj0+cosjcosj0) =cosqcosq0+sinqsinq0cos(j-j0). 公式(4.31)或(4.32)称为球的泊松公式.,63,作业 习题4 第71页 第3、5、7题,
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