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1、通过对临界压力公式的理论分析,可得到: 1、 细长压杆应以丧失稳定为其失效形式。 失稳是一种完全不同于轴向压缩破坏的失效形式 。 (与达.芬奇的方法比较) 上节课的结论: 2、欧拉公式已从理论上指明了提高临界压力的方法 : (3)用合金钢代替低碳钢并不能显著提高临界压力 (1)减小杆的长度L(最有效的方法) (2)增加横截面的尺寸,并尽可能地采用完全对称 的横截面形状和空心截面,以提高压杆的min 3、应当指出: 实际压杆的轴线不是理想直线。 受压时不施加横向力也会发生弯曲。 当cr 时, 实际压杆一定失稳; 但cr 时,并不能保证实际压杆一定不失稳。 即使如此,我们毕竟对细长压杆所能承受的压
2、 力提出了一个量的判据。 Euler先生1760年发表了细长杆的临界压力公式。 但工程界并不接受该理论。 称“ EK2” 项为 “绝对 弹性”。 解释其力学意义时,认为: EK2 hb2 实际上:EK2 hb3 遗憾的是:Euler先生未做实验以验证理论。 原因在于: 1、Euler先生最初导出的公式 是: 而工程师们早就知道 PcrD4 因此,无法解释与 实际的差别。 对此,Euler先生已在1768年作了修正 。 2、即使作了以上修改,Euler公式仍然与一些压杆的 实验结果不相符。工程界又不理解原因所在。致使 Euler的天才发现未能在工程上及时得到应用。 库伦先生也怀疑Euler理论的
3、正确性。 并报告了他的实验结果:压杆强度与长度无关。 (1)实验中应当使用较细长的杆 (2)不能使用铸铁一类的脆性材料。 库伦先生的铸铁压杆在发生失稳以前就断裂了。 因而,基于该实验之上的结论是错误的。 但库伦先生违背了Euler先生的两点猜测: Euler 公式的适用条件 : 法国的拉马尔于1846年提出 (1)分析了Euler 公式与实验不相符的原因。 (2)首次提出“长细比”概念。 (3)指出欧拉公式的适用范围。 实际上: 时,Euler公式是正确的; 纳维叶先生于1826年发表了一篇文章,虽然没有分析 公式与实验不符的原因,但他提出了一些具体的规定: 压杆较短时,应按压缩强度计算。 他
4、已猜到了使用Euler公式是有条件的。 欧拉及纳维叶都意识到只有细长杆受压才有失稳现 象。 这个问题一直未被注意。 确切地定义出“细长杆”概念成为正确应用欧拉公式 的前提条件。 无论在理论上还是在工程应用上,都具有重要的意义 。 什么样的杆才能称为“细长杆”呢? 14-4 压杆的临界应力及 临界应力总图 一、压杆的临界应力 惯性半径(回转半径) 压杆的长细比或压杆的柔度 计算压杆的临界应力的欧拉公式 的物理意义: 反映杆的长度、杆端支承情况及横截面形状、大 小对cr的综合影响。 二、欧拉公式的适用范围 经验公式 在推导欧拉公式时,使用了挠曲线的近似微分方程 在推导该方程时,应用了胡克定律。因此
5、,欧拉 公式也只有在满足胡克定律时才能适用: 欧拉公式的适用范围: 满足该条件的杆称为细长杆或大柔度杆 为材料的长细比极限。 即: 与 条件是等价的 定义: 注意到右边的量仅与材料的参数有关。 只有满足的杆才称为“细长杆” 或“大柔度 杆”。 只有大柔度杆才能使用Euler公式。 至此,完全解决含糊的“细长杆”概念问题。 “细长杆”是可以定量描述的。 (2)P称为杆材料的长细比极限。 只与杆件的材料有关。 与杆件的长度、截面尺寸无关。 (1)称为杆件的长细比(柔度)。 只与杆件的长度、截面尺寸有关, 是有关杆件的一个几何量,与材料无关 。 比较下两个概念: 对A3钢,当取E=206GPa,p=
6、200MPa,则 16钢: 因为即为大柔度杆, 16: 82, 3钢:100, 即:16 比 A3 更容易成为大柔度杆。 矩形: 是杆件的长细比,仅由杆件的几何参数 L,I 和 A 决定。 实心圆: 对于推广的欧拉公式:L, 给定杆件的几何参数,即可求出。 以判别压杆是否为大柔度杆。 某压杆两端为球绞。长度L200mm,矩 形截面尺寸10mm,0.6mm,材料为 钢求cr 解: 算例: 一、判断压杆是否为大柔度杆 1、求杆件的长细比(矩形): 2、求材料的长细比极限 A3钢: 100 1160100 L1200/0.171160 两端绞支:1, 长细比:i0.17 所以是大柔度杆,可用欧拉公式
7、。 二 求cr 压杆仪实验结果为: .();() 。 (1:6,150g6) 更确切的实验应当是: 1、以L为横轴,I=C做出下降的双曲线。 2、以I为横轴,LC做出上升的直线。 一个错误的想法是: cr=Pcr/A = 则 Pcr=A=C 得出的Pcr只与截面尺寸A有关,而与杆长L无关 。 四 结论 (1)使用欧拉公式的条件是压杆的长细比大于材 料的长细比极限P P 的压杆称为大柔度杆。 大柔度杆才能用临界压力的欧拉公式。 (2)压杆的长细比由压杆的几何尺寸(长度、截 面尺寸)决定,与外力和所用材料无关;压杆 的长细比极限P由压杆材料决定,与杆件的几 何尺寸无关。 (3)不同材料的、对于决定是有影 响的。 高强度钢比低碳钢更容易成为大柔 度杆。 然而 , 如果都是大柔度杆,则高强度钢并不能提高cr 。 压杆的工程应用 对大柔度理想压杆的临界压力问题已取得了大量 的理论性进展。 而在压杆的工程应用中,非大柔度杆的压杆设计 问题如何解决? 即使是大柔度杆,工程中的实际压杆也不是理想 压杆,其设计问题又该如何解决? 问题: p 的大柔度杆才能用 Euler公式。当 st AB杆不安全 100kN 0.7m0.3m 1m A B C
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