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1、七.常用连续型的概率分布之一正态分布 正态分布在质量管理中使用最为频繁,它能描述很多特性X随机取值的统计规律性。 (1)正态分布的概率密度函数 一般属于计量值数据的质量特性值服从正态分布,正态分布的概率密度函数有如下形式:,分布曲线如下图,0 - +,拐点,x,F(x) P(x),正态分布曲线如象扣放的一口钟,所以又称为钟形曲线; 正态分布曲线在x=处有对称轴,且f(x)有最大值(即最大频数); 正态分布以x轴为渐近线,向无限延伸,频数f(x)永远为正值; 正态分布曲线的拐点(凸曲线与凹曲线的交点)到对称轴的距离为 (2)正态分布的参数、,常记为: N( ,2),正态分布含有两个参数与,,为正
2、态分布的均值,它是正态分布的中心。 值不同,表征了质量特性值分布中心的位置不同; 为正态分布的标准差,它表征了质量特性值的离散程度,越大,分布越分散;越小,分布越集中。,123,x,x,1,2,3,123,(3)标准正态分布 =0,且=1的正态分布称为标准正态分布。 标准正态的密度函数为:,-3-2-1 0 1 2 3,x,(4)正态分布的标准变换 若随机变量X服从正态分布XN(,2)对随机变量X的每一个数值xi作如下的变换,标准正态分布的概率计算,数学工作者利用计算机将计算结果作成数学用表-正态分布表。符号表示查正态分布表,具体计算时可查表。亦可在EXECL表上用: fx=NORMSDIST
3、(数值)进行标准正态分布的计算,及用fx=NORMSINV(概率值)进行标准正态分布反函数的计算。,0 a,u,u,u1,u2,f、标准正态分布N(0,1)的分位数(点) 分位数是一个基本概念,如概率等式: P(U1.282)=0.9 有两种不同的说法 0.9是随机变量U不超过1.282的概率 1.282是标准正态分布N(0,1)的0.9分位数,记为u0.9,0.9,u,U0.9,0.1,第二种说法,0.9分位数把标准正态分布密度函数(u)下的面积分为左右两块,一块为0.9,另外一块为0.1。 因此,通过已知的标准正态概率值可查出分位数的数值,即求标准正态分布函数的反函数。亦可在EXECL表上
4、用fx=NORMSINV(概率值)求出。,八、总体与样本 1、总体与个体 在一个统计问题中,称研究对象的全体为总体,构成总体的每个成员称为个体。 总体可用一个分布描述,统计学的主要任务是: 研究总体是什么分布? 这个总体(即分布)的均值、方差或标准差是多少?,2、样本 从总体中抽取部分个体所组成的集合称为样本。 由于总体的全部数据往往是不能得到的,所以总体分布的特征值、也是不可知的。 但人们从总体中抽取样本是为了认识总体,从样本去推断总体。即搜集的数据中: 这个总体的均值为多少? 这个总体的标准差是多少?,3、描述样本的统计量 统计量的概念 样本来自总体。通过对样本的测量、记录和整理,得到了有
5、关总体的丰富信息,这些信息可制成图与表,或构造成样本的函数。不含未知参数的样本函数称为统计量。 描述样本集中位置的统计量 样本均值x均 就是样本的平均数(值)。,样本中位数Me 样本中位数是表示数据集中位置的另一种重要度量。 在确定Me时,需要将所有样本数据按其数值大小从小到大重新排列成有序样本:,样本众数 样本众数是样本数据中出现频率最高的值,记为Mod 描述样本分散程度的统计量 样本极差R R=xmax-xmin,样本方差s2与样本标准差s 样本变异系数CV,九、抽样分布 统计量的分布称为抽样分布。 抽样分布将是今后进行统计推断的基础。 为了说明抽样分布的概念,我们考察下面的案例(见用EX
6、CEL文件作出的抽样分布案例) 从抽样分布案例的EXCEL文件中可以看出有以下特点: 样本均值的特点 a.计算每个样本均值,它们不全相等; b.由于抽样的随机性,样本均值不全相等; c.若抽取更多的样本,会产生样本均值的分布,样本标准差的特点 a.计算每个样本的标准差,它们不全相等 b.由于抽样的随机性,样本标准差也不全相等; c.若抽取更多的样本,会产生样本标准差的分布。 从上例可以看出: 每一个统计量都有一个抽样分布。 不同的统计量可得到不同的抽样分布。,抽样分布是今后进行统计推断的基础。某些抽样分布已在理论上被导出,现介绍以下4个抽样分布: 1、样本均值x均的抽样分布 从抽样分布角度看,
7、中心极限定理告诉我们,X分布与 分布的图形如下,的分布图,X的分布图,2.有关正态总体的三大抽样分布 本节进一步讨论来自正态总体的样本均值、样本方差,以及来自两个正态总体样本均值差及方差比的抽样分布。 这些抽样分布在以后的参数区间估计、假设检验、方差分析、回归分析、试验设计和可靠性分析中将起重要作用。,(1) t分布 对于正态总体N(,2),其样本均值 的分布为N(,2/n),当为已知时,通过标准化变换,可得到标准正态分布: 但是,通常总体的标准差未知,自然会想到以样本标准差S取代,当未知时,以S去代替,此时形成了新的统计量: 称为服从自由度n-1的t分布,t分布的密度函数为:,自由度为n-1的t分布,它的概率密度函数与标准正态分布N(0,1)的概率密度函数的图形大致相似,两者均为对称分布。但t分布的峰比N(0,1)的峰略低一些,其两侧尾部要比N(0,1)的两侧尾部略粗一点,请见使用EXECL文件抽样分布案例作出的t分布的概率密度函数图象,或见质量检验专业技术培训教材p185图6-13 求t分布的分位点,可查表69(p186),亦可在EXCEL表上,在给定置信度1-和自由度f的条件下,用t分布反函数fx=TINV()求出。,
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