第4章控制网平差.ppt
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1、第4章 控制网平差,对于一个实际平差问题,可建立不同形式的函数模型,相应地就有不同的平差方法。测量中常见的控制网平差方法有条件平差和间接平差两种。 本章介绍独立三角网条件平差和水准网间接平差的原理和方法,第一节 独立三角网条件平差,根据三角网中起算数据的多少,三角网有独立三角网(网中仅有必要的起算数据)和非独立三角网(网中具有多余的起算数据)之分。三角网平差有按角度平差和按方向平差两种方法。本节讨论独立三角网按角度进行条件平差时,条件方程式列立、法方程式组成和解算的详细步骤和方法。,一、典型三角网,1.三角锁,共有n+2个点,其中2个为起算点,n个未知点. 起算数据:(x1,y1), (x2,
2、y2). 观测值:ai, bi, ci,B2,2.大地四边形,共有4个点,其中2个为起算点,2个未知点。 起算数据:(xA ,yA), (xB , yB) 观测值: a1 a4 , b1 b4,A,B,C,D,3.中点多边形,共有n+1个点,其中2个为起算点,n-1个未知点. 起算数据: (xA , yA), (xO , yO) 观测值:ai , bi , ci,二、典型三角网的条件方程,1.三角锁,图形条件,基线条件,代入条件方程得到改正数表达的条件方程,n个图形条件:,vai+vbi+vci+wi=0; wi= ai+ bi +ci 180,将,其中:ai =ctgai ; bi =ctg
3、bi ; ” = 206265”,1个基线条件:,ai vai bi vbi+wB= 0,2、大地四边形,,可以列出7个图形条件,但是只有 3 个是相互独立的,其余几个可以由这 3 个方程推导出来:,用改正数表达:,va1+vb1+va2+ vb2 +w1=0; w1= a1+ b1 +a2 +b2 180,va2+vb2+va3+ vb3 +w2=0; w2= a2+ b2 +a3 +b3 180,va3+vb3+va4+ vb4 +w3=0; w3= a3+ b3 +a4 +b4 180,极条件1个:,用改正数表达: ai vai bi vbi +ws = 0 ;,其中: ai = ctg
4、 ai , bi = ctg bi,3、中点多边形,在中点多边形中,平差时除了要满足三角形闭合条件外,还必须使中心点处的角度满足下列条件:,用改正数表达:,图形条件n个:,vai+vbi+vci+wi=0;,wi= ai+ bi +ci 180 (i = 1,2,n),圆周角条件1个:, vci+wo= 0 ; wo= ci -360,极条件1个:,ai vai bi vbi+ws= 0,第二节 条件平差原理,条件方程可以写成矩阵形式: AV +W=0 其中, A 为r n 阶矩阵,称为系数矩阵; V 为n 1列阵,称为改正数向量; W为r 1列阵,称为闭合差向量。,条件方程 AV +W=0
5、中, 有 r 个方程,n 个未知数,且 r n,这样的方程组有无穷多组解。然而,根据最小二乘准则,观测量的最或然值应该满足VTPV=min。,在 AV +W=0的条件下确定 VTPV 的最小值,这在数学中是求函数=VTPV的条件极值问题。条件平差,实际上就是确定条件方程满足VTPV=min 的唯一解。,根据计算函数的条件极值的拉格朗日乘数法则组成新函数: = VTPV 2KT(AV+W) 其中: K =(k1, k2,kr )T 是拉格朗日乘数,测量平差中称之为联系数向量。 显然,只要令对V的一阶导数等于零就可以求出 VTPV 的极值。,矩阵求导的两个公式:,(1) 设C为常数阵,X为列阵,则
6、,(2)设Y、Z 均为列阵,则:,一、改正数方程,令其等于零,注意到 (PV )T = V T P,从而有: V T P =K T A 转置后左乘 P 1 得: V =P 1 ATK (1) 该公式表达了改正数 V 与联系数 K 的关系。,函数 = VTPV 2 KT ( AV+W ) 对 V 求导:,二、法方程式,将(1)式代入条件方程 AV +W=0 中得: AP 1 AT K+W=0 (2) 这就是条件平差的法方程式。式中,P为观测值的权矩阵,设第 i 个观测值的权为 pi , 则,显然 P 是一个对角阵,其逆存在,且:,三、法方程的解,令 N = AP 1 AT (3) 则法方程式的形
7、式为 N K+W =0 其中N 称为法方程式系数矩阵,是一个满秩二次型方阵,其逆存在。从而可解出联系数向量: K = N 1 W (4),四、精度评定公式,在条件平差中,精度评定包括计算单位权方差和平差值函数的中误差。,其中,r 为条件方程的个数, pvv=VTPV 可以根据改正数向量 V 直接计算,1.单位权方差:,2. 平差值的权倒数,我们知道,未知量 x 的中误差的平方 mx2 与单位权中误差的平方 2 成正比,与该量的权 Px 成反比,即:,条件平差中,平差值权倒数的计算公式为:,因此,对于某个平差值 ,只要能够确定它的权 ,根据单位权中误差,就可以计算出该函数的中误差。,3. 平差值
8、函数的权倒数,同样,对于平差值的函数 ,只要能够确定它的权P,根据单位权中误差,就可以计算出该函数的中误差m。,设有平差值函数为,P-1 = f T P-1 f - (AP-1f )TN-1AP-1f,其中:P为观测值的权矩阵;A为条件方程系数矩阵;N为法方程系数矩阵;f 为列矩阵:,可见,列出平差函数式后,只要求出f 列阵的各元素,即可由上式计算函数的权倒数。,则平差值函数的权倒数公式为,五、条件平差的一般过程,(1)列出条件方程,AV +W=0,(2)组成法方程系数矩阵,N = AP 1 AT,(3)解法方程得到联系数,K = N 1 W,(4)计算改正数,V=P 1 ATK,(5)计算平
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