第4章流体动力学微分形式的基本方程.ppt
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1、第4章 流体动力学微分形式的基本方程 4.1 连续性方程与流函数 4.2 运动微分方程及有关概念 4.3 NS方程组求解的分析 4.4 层流精确解举例 4.5 蠕动流方程 4.6 雷诺方程 4.7 欧拉方程及其积分,4.1 连续性方程与流函数,1. 连续性方程 (1)方程的推导,液体三元流动的连续性方程,液体三元流动的连续性方程,依据质量守恒定律: x 向质量净通率:,y、z 向质量净通率分别为:,和,体积内的质量减少率 :,则有:,除以体积xyz,并令x0,y0,z0取极限,得到直角坐标下的连续性方程 :,或,或, 柱坐标下的不可压缩流体连续性方程:, 对于不可压缩流体:,(2)方程的简化
2、对于恒定流动:,(3)连续性方程的应用 判别流动能否发生。 求解某一未知速度分量。 与运动微分方程联立求解。,2. 流函数,(1) 定义,二维不可压缩流体连续性方程为:,(2) 物理意义,常数时,则得到不同流线。,为流线,当取不同, 两条流线的流函数数值之差等于这两条流线间所通过的单宽流量。,公式表明,两条流线间所通过的单宽流量等于两个流函数数值之差。且,引入后可将求ux,uy的问题化为求 的问题。,4.2 运动微分方程 1. 应力形式的运动微分方程 (1)运动流体一点处的应力状态,双下标含义: 第一个下标:作用面的外法线方向, 第二个下标:应力的方向。, 正的应力:正面、正力或负面、负力。
3、负的应力:正面、负力或负面、正力。, 依据牛顿第二定律。 六面体流体元中心点M的坐标为 x,y,z,应力状态为,可求出各面中心点的应力。,(2)方程的推导,表面力的 x 向分量:, 加速度的 x 向分量 ax :, 质量 m :,除以xyz,并令 x0,y0,z0 取极限,得出,同理可得 y、z 向方程。,应力形式的运动微分方程为,存在问题: 方程组不闭合(4个方程,9个未知量)。,2. 不可压缩流体的应力与应变率关系,3. 纳维斯托克斯方程(NS方程),写成矢量形式:,方程各项的含义: 左端:惯性力 右端:质量力、压力(压强梯度力)、粘性力,4.3 NS 方程组求解的分析,1. NS 方程组
4、,矢量式:,分量式:,理论上,方程组可解。,3. 主要解法,(1)层流精确解 对于某些简单流动,非线性项为零,可求得精确解。例如:, 平行平板间的二维恒定层流运动, 斜面上具有等深自由面的二维恒定 层流运动, 等直径圆管恒定层流运动,蠕动流的例子:小球在极粘流体中的沉降,为什么不适用于固体壁面附近? 计算结果与实际不符合: 边界条件不符合 阻力规律不符合 流型不符合,1904年,普朗特提出边界层概念,将微粘流体的广大流场划分为边界层和外流区,分别用边界层理论和势流理论求解。,4.4 层流精确解举例,1. 平行平板间的二维恒定层流运动,重力作用下的两无限宽水平平行平板间的二维恒定不可压缩流体的层
5、流运动。平板间距为a,流体的密度为,动力粘度为,上板沿 x 方向移动的速度 U 为常量,试求平板间流体的速度分布。,求解步骤:, 绘图并选取坐标系及坐标取向。 依据题中条件,简化NS方程组。 依据题意,给出边界条件。 解方程组。,(1)选直角坐标系 取 x 轴 沿下板, z 轴垂直于平板。,(2)简化NS方程组, 由二维流动可知 uy0,且各量与y 无关; 由流体作平行于x 轴的流动,可知 uz0, 故仅有ux ; 由恒定流可知 ;, 由不可压缩流体的连续性方程,和,即 ux 仅是 z 的函数;, 由重力场可知单位质量力 即 X = Y = 0,Z = -g。,于是 NS 方程组简化为,(1)
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