2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算学案新人教A.wps
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1、3.2.23.2.2 复数代数形式的乘除运算 1掌握复数代数形式的乘、除运算(重点) 2理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律(难点) 3理解共轭复数的概念(易混点) 基础初探 教材整理 1 复数的乘法法则及运算律 阅读教材 P58“至 例 2”以上内容,完成下列问题 1复数的乘法法则 设 z1abi,z2cdi(a,b,c,dR R),则 z1z2(abi)(cdi)(ac bd) (ad bc)i. 2复数乘法的运算律 对任意 z1,z2,z3C C,有 (1)交换律:z1z2z2 z1. (2)结合律:(z1z2)z3z1( z2 z3) (3)乘法对加法的分配律:z1(z2z
2、3)z1z2 z1z3. 已知 a,bR R,i 是虚数单位若(ai)(1i)bi,则 abi_. 【解析】 因为(ai)(1i)a1(a1)ibi,a,bR R,所以Error!解得Error!所 以 abi12i. 【答案】 12i 教材整理 2 共轭复数 阅读教材 P59“例 3”“”以下至 探究 以上内容,完成下列问题 如果两个复数满足实部相等,虚部互为相反数时,称这两个复数互为共轭复数,z 的共轭 复数用z表示,即 zabi(a,bR R),则zabi. 1 若 x2yi 和 3xi 互为共轭复数,则实数 x_,y_. 【解析】 由题意可得Error! Error! 【答案】 1 1
3、 教材整理 3 复数的除法法则 阅读教材 P59“探究”以下至 P60“例 4”以上内容,完成下列问题 z1 abi acbd bcad 设 z1abi(a,bR R),z2cdi(cdi0 且 c,dR R),则 z2 cdi c2d2 c2d2 i(cdi0) 7i i 是虚数单位,复数 _. 3i 7i 7i3i 2010i 【解析】 2i. 3i 3i3i 10 【答案】 2i 小组合作型 复数代数形式的乘除法运算 (1)设(12i)(ai)的实部与虚部相等,其中 a为实数,则 a( ) A3 B2 C2 D3 (2)已知复数 z满足(z1)i1i,则 z( ) A2i B2i C2i
4、 D2i i2i1 (3)计算: _. 1ii1i 【精彩点拨】 (1)利用复数的乘法运算法则进行计算 (2)利用复数的除法运算法则进行计算 (3)题中既有加、减、乘、除运算,又有括号,同实数的运算顺序一致,先算括号里的, 再算乘除,最后算加减 【自主解答】 (1)(12i)(ai)a2(12a)i,由题意知 a212a,解得 a 3,故选 A. i1 (2)(z1)ii1,z1 1i, i 2 z2i,故选 C. i2i1 (3) 1ii1i 1i2i2 i11ii 13i 13i2i 2i 2i2i 2361i 5 55i 1i. 5 【答案】 (1)A (2)C (3)1i 1复数的乘法
5、可以把 i 看作字母,按多项式乘法的法则进行,注意要把 i2化为1,进行 最后结果的化简复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘 以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以 i) 1 3 1 1i 2利用某些特殊复数的运算结果,如(1i)22i,( i) 31, i, 2 2 i 1i 1i i, i,i 的幂的周期性等,都可以简化复数的运算过程 1i 再练一题 1 3i 1(1)复数 等于( ) 3i Ai Bi C. 3i D. 3i (2)已知复数 z(52i)2(i为虚数单位),则 z 的实部为_ 12i231i (3)计算: _. 2i 1 3i 1
6、3i 3i 【解析】 (1) 3i 3i 3i 3i3i 3 i. 4 (2)因为 z(52i)22520i(2i)22520i42120i,所以 z 的实部为 21. 12i231i (3) 2i 3 34i33i 2i i 2i i2i 5 1 2 i. 5 5 1 2 【答案】 (1)A (2)21 (3) i 5 5 共轭复数及其应用 z 已知复数 z的共轭复数是z,且 zz4i,zz13,试求 . z z 【精彩点拨】 设zxyix,y R R由条件到方程组求x,y的值计算 的值 z 【自主解答】 设 zxyi(x,yR R),则由条件可得 Error! 即Error! 解得Erro
7、r!或Error! 因此 z32i或 z32i. z 32i 32i2 512i 5 12 z 32i 于 是 i , 或 z 32i 32i32i 13 13 13 z 32i 32i2 512i 5 12 i. 32i32i 13 13 13 1已知关于 z和z的方程,而复数 z的代数形式未知,求 z.解此类题的常规思路为:设 z abi(a,bR R),则zabi,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求 解 2关于共轭复数的常用结论 (1)zz|z|2|z|2是共轭复数的常用性质; (2)实数的共轭复数是它本身,即 zR Rzz,利用此性质可以证明一个复数是实数; (3
8、)若 z0 且 zz0,则 z为纯虚数,利用此性质可证明一个复数是纯虚数 再练一题 2已知复数 z满足 zz2iz42i,求复数 z. 【解】 设 zxyi(x,yR R),则zxyi, 4 由题意,得(xyi)(xyi)2(xyi)i (x2y22y)2xi42i, Error!解得Error!或Error! z13i 或 z1i. 探究共研型 in的值的周期性及其应用 探究 1 i4n,i4n1,i4n2,i4n3(nN N)的结果分别是什么? 【提示】 1,i,1,i. 探究 2 in(nN N)有几种不同的结果? 【提示】 四种:1,i,1,i. 探究 3 inin1in2in3(nN
9、 N)结果是多少? 【提示】 inin1in2in3in(1ii2i3)i(1i1i)0. 2 3i 2 (1)计算: 2 016; 12 3i (1i ) 1i (2)若复数 z ,求 1zz2z2 016的值 1i 【精彩点拨】 将式子进行适当的化简、变形,使之出现 in的形式,然后再根据 in的值 的特点计算求解 i12 3i 2 【自主解答】 (1)原式 12 3i (1i )21 008 2 i(2i ) 1 008ii1 008ii4252i1. 1z2 017 (2)1zz2z2 016 , 1z 1i 1i2 2i 而 z i, 1i 1i1i 2 1i2 017 1i 所以
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