2017_2018版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末分层突破学案新人教A版选修1_22017.wps
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1、第三章 数系的扩充与复数的引入 自我校对 i21 ac,bd zabiZ(a,b) OZ ac (bd)i (ac)(bd)i 复数的概念及分类 1.复数 abi(a,bR R)Error! 2复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题, 只需把复数化为代数形式,列出实部、虚部满足的方程(或不等式)即可 当实数 a为何值时,za22a(a23a2)i: (1)为实数; (2)为纯虚数; (3)对应的点在第一象限内; (4)对应的点在直线 xy0 上 【精彩点拨】 解答本题可根据复数的分类标准,列出方程(不等式)求解 【规范解答】 (1)由 zR R,得 a23a
2、20, 1 解得 a1 或 a2. (2)z为纯虚数,Error! 即Error! 故 a0. (3)z对应的点在第一象限, 则Error! Error! a2. a的取值范围是( ,0)(2, ) (4)依题得(a22a)(a23a2)0, a2. 再练一题 m2m6 1当实数 m为何值时,复数 z (m22m)i为 m (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数 【解】 (1)当Error! 即 m2 时,复数 z是实数 (2)当 m22m0, 即 m0 且 m2 时,复数 z是虚数 (3)当Error! 即 m3 时,复数 z是纯虚数 复数的四则运算 复数的运算是复数学习的核心,主要有加、
3、减、乘、除运算,加减法是对应实、虚部分别 相加减,而乘法类比多项式乘法,除法实质上是分母实数化,可类比分式的分子分母有理化, 注意 i21. 3 22i 1 计算:( i) 12(1 3i)8. 2 2 3 1 1 3 1 3 【精彩点拨】 先由 2ii( i),1 3i(2)( i),将原式化简, 2 2 2 2 2 1 3 再利用 i 的特殊性进行求解 2 2 2 1 3 2i4( i) 1 3 1i8 2 2 【规范解答】 原式i12( i) 12 11 2 2 1 3 1 3 ( i) ( i) 9 8 2 2 2 2 1 3 116( i)78 3i. 2 2 再练一题 22i4 2
4、计算:(1) ; 1 3i5 1 3i3 2i (2) . 1i6 12i 1 3 2i2( i) 241i4 1 1 1 2 2 【解】 (1)原式 2(4)( 1 3 2 1 3 2 25( 5 6 i) ( i) 2 2 2 2 3 i) 2 1 3i. 1 3 2 ( i) 3 2 2 2i12i (2)原式 1i23 5 1 3 23( i) 3 2 2 24ii2 2i3 5 8 iii0. 8i 共轭复数与复数的模 共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念,在解决有关复数问题时,除用共轭复数定 义与模的计算公式解题外,也常用下列结论简化解题过程: 1 (1)|z|1z . z (
5、2)zR Rzz. (3)z0,z为纯虚数zz. 1z 设 z是虚数,且|z|1,求证:u 为纯虚数 1z 【精彩点拨】 利用共轭复数的性质证明 uu0. 1 【规范解答】 z为虚数,且|z|1,zz1,即z . z 1 1 1z 1z 1z z 1z z1 u u 0, 1z 1z 1z 1 1z 1z 1 z 3 u为纯虚数 再练一题 z 3设|z|1,且 zi,求证: 为实数 1z2 【证明】 由条件可知 z0,则 zz|z|21, 1 所以z z1, z z z z z z1 z z (1z2) ,所以 为实数 1z2 1z2 1z2 1z12 z21 1z2 复数的几何意义 1.点
6、Z(a,b)或向量OZ称为复数 zabi(a,bR R)的几何表示,因此复平面的点与复平 面的向量是复数的两个几何形象 2复数形式的基本轨迹 (1)当|zz1|r时,表示复数 z对应的点的轨迹是以 z1对应的点为圆心,半径为 r的圆; 单位圆|z|1. (2)当|zz1|zz2|时,表示以复数 z1,z2的对应点为端点的线段的垂直平分线 (3)|z1z2|表示两点间的距离,即表示复数 z1与 z2对应点间的距离 若 zC C,且|z22i|1,则|z22i|的最小值是( ) A2 B3 C4 D5 【精彩点拨】 常规方法是运用复数的代数形式,把复数最值问题转化为一般函数最值问 题再解决,而运用
7、|zz0|的几何意义解决更为简便 【规范解答】 如图,|z22i|1 表示以 C(2,2)为圆心,1 为半径的圆,则|z22i| 的最小值是指点 A(2,2)到圆的最短距离,显然|AB|AC|13,即为最小值,故选 B. 【答案】 B 再练一题 4已知|z|2,则|z1 3i|的最大值和最小值分别为_. 【导学号:81092053】 【解析】 设 zxyi(x,yR R),则由|z|2 知 x2y24, 故 z对应的点在以原点为圆心,2 为半径的圆上, 又|z1 3i|表示点(x,y)到点(1, 3)的距离 4 又因为点(1, 3)在圆 x2y24 上,所以圆上的点到点(1, 3)的距离的最小
8、值 为 0,最大值为圆的直径 4, 即|z1 3i|的最大值和最小值分别为 4 和 0. 【答案】 4,0 1已知 z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是 ( ) A(3,1) B(1,3) C(1, ) D( ,3) 【解析】 由题意知Error!即3m1.故实数 m 的取值范围为(3,1) 【答案】 A 2设(1i)x1yi,其中 x,y 是实数,则|xyi|( ) A1 B. 2 C. 3 D2 【解析】 (1i)x1yi,xxi1yi. 又x,yR R,x1,yx1. |xyi|1i| 2,故选 B. 【答案】 B 12i 3复数 ( ) 2i Ai
9、 B1i Ci D1i 12i 12i2i 5i 【解析】 方法 1: i. 2i 2i2i 5 12i i12i i12i 方法 2: i. 2i i2i 2i1 【答案】 A a 4已知 a,bR R,i 是虚数单位,若(1i)(1bi)a,则 的值为_ b 【解析】 因为(1i)(1bi)1b(1b)ia,又 a,bR R,所以 1ba 且 1b a 0,得 a2,b1,所以 2. b 【答案】 2 5设 aR R,若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点位于实轴上,则 a_. 【解析】 (1i)(ai)a1(a1)i. 5 其对应点在实轴上, a10,即 a1. 【答案】 1 章末综合
10、测评( (三) ) 数系的扩充与复数的引入 (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60分在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1设复数 z 满足 zi3i,则z( ) A12i B12i C32i D32i 【解析】 由 zi3i 得 z32i,z32i,故选 C. 【答案】 C 2若复数 zi(32i)(i 是虚数单位),则z( ) A23i B23i C32i D32i 【解析】 zi(32i)3i2i223i,z23i. 【答案】 A 3若 i(xyi)34i(x,yR R),则复数 xyi 的模是( ) A2
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