2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.1.1合情推理学案新人教A版选修1_22017071.wps
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1、2.1.12.1.1 合情推理 1了解合情推理的含义,正确理解归纳推理与类比推理(重点、易混点) 2能用归纳和类比进行简单的推理(难点) 3了解合情推理在数学发现中的作用 基础初探 教材整理 1 归纳推理和类比推理 阅读教材 P22P26“例 4”以上内容,完成下列问题. 定义 特征 归纳 推理 由某类事物的部分对象具有某些特征,推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概括出一般结论的推理 归纳推理是由部分到整 体、由个别到一般的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对 类比 类比推理是由特殊到特 象的某些已知特征,推出另一类对象也具有 推理 殊的推理 这些特征的推理
2、 判断(“正确的打”“,错误的打 ”) (1)因为三角形的内角和是 180(32),四边形的内角和是 180(42),所以 n边形的内角和是 180(n2),使用的是类比推理( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用( ) (3)归纳推理是由个别到一般的推理( ) 【解析】 (1)错误它符合归纳推理的定义特征,应该为归纳推理 (2)错误类比推理不一定正确 (3)正确由个别到一般或由部分到整体的推理都是归纳推理 1 【答案】 (1) (2) (3) 教材整理 2 合情推理 阅读教材 P27P29的内容,完成下列问题 1含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,
3、再进行归纳、 类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理 2合情推理的过程 从具体问 观察、分析、 题出发 比较、联想 归纳、类比 提出猜想 类比 a(bc)abac,则下列结论正确的是( ) Aloga(xy)logaxlogay Bsin(xy)sin xsin y Caxyaxay Daa(b bc c)ababacac 【解析】 由类比推理的定义知两类比对象具有某些相似特征时,才能用类比推理,而 A、 B、C 中的两对象没有相似特征,故不适合应用类比推理 【答案】 D 小组合作型 归纳推理 1 (1)在数列an中,a11,an1 ,则 a2 017等于( ) an1 1 A2
4、B 2 C2 D1 (2)根据图 211 中线段的排列规则,试猜想第 8 个图形中线段的条数为_.【导学 号:81092010】 图 211 2 1 【解析】 (1)a11,a2 ,a32,a41,数列an是周期为 3 的数列,2 017 2 67231,a2 017a11. (2)分别求出前 4 个图形中线段的数目,发现规律,得出猜想,图形到中线段的条数 分别为 1,5,13,29,因为 1223,5233,13243,29253,因此可猜想第 8 个图形中 线段的条数应为 2813509. 【答案】 (1)D (2)509 1由已知数式进行归纳推理的方法 (1)要特别注意所给几个等式(或不
5、等式)中项数和次数等方面的变化规律 (2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形式的特征 (3)提炼出等式(或不等式)的综合特点 (4)运用归纳推理得出一般结论 2归纳推理在图形中的应用策略 通过一组平面或空间图形的变化规律,研究其一般性结论,通常需形状问题数字化,展现 数字之间的规律、特征,然后进行归纳推理解答该类问题的一般策略是: 续表 再练一题 1(1)有两种花色的正六边形地面砖,按图 212 的规律拼成若干个图案,则第六个图案 中有菱形纹的正六边形的个数是( ) 3 图 212 A26 B31 C32 D36 (2)把 3,6,10,15,21,这些数叫做三角形数,这是因为个数等于
6、这些数目的点可以分别 排成一个正三角形(如图 213),试求第六个三角形数是_ 图 213 【解析】 (1)法一:有菱形纹的正六边形个数如下表: 图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6 为首项,以 5 为公差的等差数 列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)31. 法二:由图案的排列规律可知,除第一块无纹正六边形需 6 个有纹正六边形围绕(图案 1) 外,每增加一块无纹正六边形,只需增加 5 块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之 “间有一块 公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为:6
7、5(6 1)31.故选 B. (2)第六个三角形数为 33456728. 【答案】 (1)B (2)28 类比推理在几何中的应用 如图 214 所示,在平面上,设 ha,hb,hc分别是ABC三条边上的高,P为ABC pa pb pc 内任意一点,P到相应三边的距离分别为 pa,pb,pc,可以得到结论 1. 【导学号: ha hb hc 81092011】 图 214 证明此结论,通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明 【精彩点拨】 三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四 面体以某一面为底面的高 4 1 BCpa pa 2 S PBC 【自主解答】 , ha 1
8、 S ABC BCha 2 pb S PAC pc S PAB 同理, , . hb S ABC hc S ABC SPBCSPACSPABSABC, pa pb pc S PBCS PACS PAB 1. ha hb hc S ABC 类比上述结论得出以下结论:如图所示,在四面体 ABCD中,设 ha,hb,hc,hd分别是该四 面体的四个顶点到对面的距离,P为该四面体内任意一点,P到相应四个面的距离分别为pa,pb, pa pb pc pd pc,pd,可以得到结论 1. ha hb hc hd 1 S BCDpa pa 3 VPBCD 证明如下: , ha 1 VABCD S BCDha
9、 3 pb VPACD pc VPABD pd VPABC 同理, , , . hb VABCD hc VABCD hd VABCD VPBCDVPACDVPABDVPABCVABCD, pa pb pc pd ha hb hc hd VPBCDVPACDVPABDVPABC 1. VABCD 1一般地,平面图形与空间图形类比如下: 平面图形 点 线 边长 面积 线线角 三角形 空间图形 线 面 面积 体积 二面角 四面体 2.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论 5 再练一题 2在上例中,若ABC的边长分
10、别为 a,b,c,其对角分别为 A,B,C,那么由 abcos Cccos B可类比四面体的什么性质? 【解】 在如图所示的四面体中,S1,S2,S3,S分别表示PAB,PBC,PCA,ABC 的面积, , 依次表示平面 PAB,平面 PBC,平面 PCA与底面 ABC所成二面角的大小 猜想 SS1cos S2cos S3cos . 探究共研型 类比推理在其他问题中的应用 探究 1“”“” 鲁班发明锯子的思维过程为:带齿的草叶能割破行人的腿, 锯子 能 锯 开 木材,它们在功能上是类似的因此,它们在形状上也应该类似,“锯子”应该是齿形的你 认为该过程为归纳推理还是类比推理? 【提示】 类比推理
11、 a1a2a3a2n1 探究 2 在等差数列an中,对任意的正整数 n,有 an.类比这一 n 性质,在正项等比数列bn中,有什么性质? 【提示】 由 a1a2a2n1类比成 b1b2b3b2n1,除以 n,即商类比成开 n次方, 即在正项等比数列bn中,有 bn. n b1b2b3b2n1 探究 3 观察下列等式:132332,13233362,13233343102,根据上述规 律,第五个等式是什么? 【提示】 观察等式发现等式左边各加数的底数之和等于右边的底数,右边数的指数均为2, 故猜想第五个等式应为 132333435363(123456)2212. 已知椭圆具有性质:若 M,N是椭
12、圆 C上关于原点对称的两个点,点 P是椭圆上任 意一点,当直线 PM,PN的斜率 kPM,kPN都存在时,那么 kPM与 kPN之积是与点 P的位置无关的 x2 y2 定值,试写出双曲线 1(a0,b0)具有类似特征的性质,并加以证明 a2 b2 【精彩点拨】 双曲线与椭圆类比椭圆中的结论 双曲线中的相应结论理论证明 x2 y2 【自主解答】 类似性质:若 M,N为双曲线 1(a0,b0)上关于原点对称的两个 a2 b2 点,点 P是双曲线上任意一点,当直线 PM,PN的斜率 kPM,kPN都存在时,那么 kPM与 kPN之积 是与点 P的位置无关的定值 证明如下:设点 M,P的坐标分别为(m
13、,n),(x,y),则 6 N(m,n)因为点 M(m,n)是双曲线上的点, b2 b2 所以 n2 m2b2.同理 y2 x2b2. a2 a2 yn yn y2n2 b2 x2m2 b2 则 kPMkPN (定值) xm xm x2m2 a2 x2m2 a2 1两类事物能进行类比推理的关键是两类对象在某些方面具备相似特征 2进行类比推理时,首先,找出两类对象之间可以确切表达的相似特征;然后,用一类 对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得到一个猜想 再练一题 T20 T30 T40 3在公比为 4 的等比数列bn中,若 Tn 是数列bn的前 n 项积,则有 , , 也成等 T10 T2
14、0 T30 比数列,且公比为 4100;类比上述结论,相应地,在公差为 3 的等差数列an中,若 Sn 是an 的前 n 项和可类比得到的结论是_. 【导学号:81092012】 【解析】 因为等差数列an的公差 d3, 所以(S30S20)(S20S10) (a21a22a30)(a11a12a20) 100d300, 同理可得:(S40S30)(S30S20)300, 所以数列 S20S10,S30S20,S40S30是等差数列,且公差为 300. 即结论为:数列 S20S10,S30S20,S40S30也是等差数列,且公差为 300. 【答案】 数列 S20S10,S30S20,S40S
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