2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.1第1课时综合法及其应用学案新人教A版选修1_2.wps
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1、2.2.12.2.1 第 1 1 课时 综合法及其应用 1了解直接证明的基本方法综合法,掌握其证明方法、步骤(重点) 2理解综合法的思考过程、特点,会用综合法证明数学问题(难点、易混点) 基础初探 教材整理 综合法 阅读教材 P36的内容,完成下列问题 1综合法的定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法 2综合法的框图表示 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ (P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等,Q 表示所要证明的结论) 判断(“正确的打”“,错误的打 ”) (1)综合法是由因导果的顺推证法( ) (2
2、)综合法证明的依据是三段论( ) (3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件( ) 【解析】 (1)正确由综合法的定义可知该说法正确 (2)正确综合法的逻辑依据是三段论 (3)正确综合法从“”已知 看“可知”“,逐步推出 未知”,其逐步推理实际上是寻找它 的必要条件 【答案】 (1) (2) (3) 1 小组合作型 用综合法证明三角问题 在ABC中,a,b,c分别为内角 A,B,C的对边,且 2asin A(2bc)sin B (2cb)sin C. (1)求证:A的大小为 60; (2)若 sin Bsin C 3.证明:ABC为等边三角形 【精彩点拨】 (1)利用正弦定理将角与边互化,
3、然后利用余弦定理求 A; (2)结合(1)中 A的大小利用三角恒等变形证明 ABC60. 【自主解答】 (1)由 2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C, 得 2a2(2bc)b(2cb)c, 即 bcb2c2a2, b2c2a2 1 所以 cos A . 2bc 2 所以 A60. (2)由 ABC180,得 BC120, 由 sin Bsin C 3,得 sin Bsin(120B) 3, sin B(sin 120cos Bcos 120sin B) 3, 3 3 sin B cos B 3, 2 2 即 sin(B30)1. 因为 00,y0,xy1,求证:(1x )(
4、1y )9. 【精彩点拨】 解答本题可由已知条件出发,结合基本不等式利用综合法证明 【自主解答】 法一:因为 x0,y0,1xy2 xy, 1 所以 xy . 4 1 1 1 1 1 所以(1x )(1y )1 x y xy xy 1 2 1 1 189. xy xy xy 法二:因为 1xy, 1 1 xy xy 所以(1x )(1y )(1 x )(1 y ) y x x y (2x )(2y )52( . x ) y x y 又因为 x0,y0,所以 2,当且仅当 xy “”时,取 号 y x 1 1 所以(1x )(1y )5229. 综合法的证明步骤 1分析条件,选择方向:确定已知条
5、件和结论间的联系,合理选择相关定义、定理等; 2转化条件,组织过程:将条件合理转化,书写出严密的证明过程 特别地,根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程 再练一题 1 1 1 3已知 a,b,c 是正实数,a,b,c 互不相等且 abc1.证明: a b c . a b c 1 1 1 【证明】 因为 a,b,c 是正实数,a,b,c 互不相等且 abc1,所以 2 2 c, a b ba 1 1 1 1 1 1 2 2 b, 2 2 a, a c ca b c cb 5 1 1 1 所以 2( 2( ), c) a b c a b 1 1 1 即 a b c . a b c 1已知等差数
6、列an中,a5a1116,a41,则 a12的值是( ) A15 B30 C31 D64 【解析】 an为等差数列, a5a11a4a12. 又a5a1116,a41,a1215. 【答案】 A 2已知直线 l,m,平面 ,且 l,m,给出下列四个命题:若 , 则 lm;若 lm,则 ;若 ,则 lm;若 lm,则 . 其中正确的命题的个数是( ) A1 B2 C3 D4 【解析】 若 l,则 l,又 m,所以 lm,正确; 若 l,m,lm, 与 可能相交,不正确; 若 l,m,l 与 m 可能平行,不正确; 若 l,lm,则 m,又 m,所以 ,正确 【答案】 B 3若 a,b,c 是常数
7、,则“a0且 b24ac0 对任意 xR R 恒成立” 的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解析】 因为 a0 且 b24ac0 对任意 xR R 恒成立反之,ax2bxc0 对任意 xR R 恒成立不能推出 a0 且 b24ac0 时也有 ax2bxc0 对任意 xR R 恒成立, 所以“a0 且 b24ac0 对任意实数 xR R 恒成立”的充分不必要条 件 6 【答案】 A 1 4已知 pa (a2),q2a24a2(a2),则 p 与 q 的大小关系是_ a2 1 1 【解析】 pa2 22 a2 24, a2 a2 a24a22(a2)
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