2017_2018版高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修1_220170719.wps
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1、2.2.22.2.2 反证法 1了解间接证明的一种基本方法反证法 2了解反证法的思考过程、特点,理解反证法的推理过程,证明步骤(重点) 3体会直接证明与间接证明的区别与联系,会用反证法证明数学问题(难点、易混点) 基础初探 教材整理 反证法 阅读教材 P42P43的内容,完成下列问题 1反证法的定义 假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾, 因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法 2反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛 盾,或与定义、定理、公理、事实矛盾等 判断(“
2、正确的打”“,错误的打 ”) (1)反证法属于间接证明问题的方法( ) (2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理( ) (3)反证法推出的矛盾不能与已知相矛盾( ) 【解析】 (1)正确反证法其实是证明其逆否命题成立,所以它属于间接证明问题的方 法 (2)错误反证法从证明过程看是一种严谨的演绎推理 (3)错误反证法推出的矛盾可以与已知相矛盾 【答案】 (1) (2) (3) 1 小组合作型 用反证法证明否定性命题 等差数列an的前 n项和为 Sn,a11 2,S393 2. (1)求数列an的通项 an与前 n项和 Sn; Sn (2)设 bn (nN N* *),求证:数列
3、bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列 n 1 【精彩点拨】 第(1)问应用 ana1(n1)d和 Snna1 n(n1)d两式求解第(2)问 2 先假设存在三项 bp,bq,br成等比数列,再用反证法证明 【自主解答】 (1)设等差数列an的公差为 d,由已知得 Error! d2,故 an2n1 2,Snn(n 2) Sn (2)证明:由(1)得 bn n . 2 n 假设数列bn中存在三项 bp,bq,br(p,q,r互不相等)成等比数列,则 b2qbpbr, 即(q 2)2(p 2)(r 2), (q2pr)(2qpr) 20. p,q,rN N* *,Error! pr ( 2 )
4、2pr,(pr)20, pr,这与 pr矛盾 所以数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列 1“”“”“”“”当结论中含有 不不是不可能不存在 等词语的命题,此类问题的反面 比较具体,适合应用反证法例如证明异面直线,可以假设共面,再把假设作为已知条件推导 出矛盾 2反证法必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须根据这一条件 进行推证,否则,仅否定结论,不从结论的反面出发进行推理,就不是反证法 3常见否定词语的否定形式如下表所示: 否定词语 否定词语的否定形式 2 没有 有 不大于 大于 不等于 等于 不存在 存在 再练一题 x2 1已知方程 f(x)ax (a1),证明:方
5、程 f(x)0 没有负数根 x1 x02 【解】 假设 x0是方程 f(x)0 的负数根,则 x00,y0,且 xy2,求证: 与 至少有一个小于 2. x y 【导学号:81092026】 1y 1x 【证明】 假设 与 都不小于 2, x y 1y 1x 即 2, 2. x y x0,y0,1y2x,1x2y, 两式相加得 2(xy)2(xy) xy2,这与已知中 xy2 矛盾 1y 1x 假设不成立,原命题成立故 与 至少有一个小于 2. x y 探究共研型 “”用反证法证明 唯一性 命题 探究 1“ 用反证法证明命题: 过已知直线 a外一点 A有且只有一条直线 b与已知直线 a ”平行
6、 的过程归纳为以下三个步骤: 因为 ba,由平行公理知 bb.这与假设 bbA矛盾,所以假设错误原命题成 立; 由两条直线平行的定义可知,过点 A至少有一条直线与直线 a平行; 假设过点 A还有一条直线 b与已知直线 a平行,即 bbA,ba. 请指出正确顺序的排列序号 【提示】 由反证法证明的步骤知,先反设,再推出矛盾,最后作出判断,肯定结论,即 正确顺序应为:. 探究 2 如何证明两条相交直线有且只有一个交点? 【提示】 假设两条直线 a,b不只有一个交点,则至少有两个交点 A和 B,这样同时经过 点 A,B的直线就有两条,这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾所以两条相交直线有 4 且只
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