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1、第九章 压杆稳定,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,木结构中的压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,脚手架中的压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,桁架中的压杆,工程中把承受轴向压力的直杆称为压杆,嫦娥奔月中的压杆,稳定性(Stability ),桁架稳定性(Stability of Trusses ),桁架吊索式公路桥,第10章 压杆稳定,索式公路桥,第10章 压杆稳定,第10章 压杆稳定,第10章 压杆稳定,第10章 压杆稳定,工程实例,一、稳定平衡与不稳定平衡:,1、不稳
2、定平衡: 扰动作用除去后不能回复的平衡:,2、稳定平衡: 扰动作用除去后能回复的平衡:,物体平衡的稳定性,3、稳定平衡和不稳定平衡的区别:,压力Fcr称为压杆的临界力或称为临界荷载(Critical loads)。 压杆的失稳现象是在纵向力的作用下,使杆发生突然弯曲,所以称为纵弯曲。这种丧失稳定的现象 也称为屈曲。,压杆稳定的概念,稳定的平衡: ( stable equilibrium ) 能保持原有的 直线平衡状态的平衡;,不稳定的平衡: (unstable equilibrium ) 不能保持原有的直 线平衡状态的平衡。,4、失稳 (屈曲) :,例:受外压的薄壳,构件由一种平衡状态改变为另
3、一种平衡状态。,二、压杆的失稳与临界压力:,1) 理想压杆:理想材料;轴线直线;轴向压力。,2) 压杆的稳定平衡与不稳定平衡:,稳 定 平 衡,不 稳 定 平 衡,3) 压杆失稳:,4) 压杆的临界压力:,稳 定 平 衡,不 稳 定 平 衡,临界状态,临界压力: Fcr,使压杆保持微弯状态下 平衡时的最小压力值。,3)临界压力与压杆失稳:,压杆由于处于不稳定平衡 状态而造成的失效时, 我们称之为“压杆失稳” 。,在较小轴向压力F 作用下, 试件可保持稳定平衡; 但 F 增大到某一值 Fcr 时, 试件开始出现不稳定平衡, 我们将此 Fcr称为临界压力。,压杆失稳导致钢梁倒塌,三、工程中的压杆稳
4、定性问题,顶杆 的 稳定性,吊车塔身的稳定性,1875年俄国开伏达河上同名桥,在安装完毕后,仅当工作车通过时,受压上弦杆发生偏离桁架平面的屈曲而毁坏。,1925年2月13日,修复后的莫济里桥在试车时出现了问题。幸好桁架落在为试车准备的临时支座上,人们才可看到斜杆失稳后的情景。 左图桥下侧面观察,右图桥上看:长15.372米的斜杆一根鼓出1.46米,另一根鼓出0.905米。,2000年10月25日上午10时许南京电视台演播厅工程封顶,由于脚手架失稳,模板倒塌,造成6人死亡,35人受伤,其中一名死者是南京电视台的摄象记者。,实际的受压杆件由于:,其轴线并非理想的直线而存在初弯曲, 2. 作用于杆上
5、的轴向压力有“偶然”偏心, 3. 材料性质并非绝对均匀, 因此在轴向压力作用下会发生弯曲变形,且由此引起的侧 向位移随轴向压力的增大而更快地增大。,第九章 压杆稳定,压杆的截面形式及支端约束,压杆的临界力既然与弯曲变形有关,因此压杆横截面的弯曲刚度应尽可能大; 图a为钢桁架桥上弦杆(压杆)的横截面, 图b为厂房建筑中钢柱的横截面。在可能条件下还要尽量改善压杆的杆端约束条件,例如限制甚至阻止杆端转动。,第九章 压杆稳定,临界压力的计算公式 欧拉公式 推导,首先我们假定压力已达到临界值,此时杆处 于微弯平衡状态,然后从挠曲线入手求临界压力:, 内力弯矩的计算:, 挠曲线近似微分方程:,9.2 两端
6、铰支细长压杆的临界压力,P147,边界条件!, 上微分方程的解:, 确定积分常数:A、B,注意:A = 0 ?,若A = 0 , 则挠曲线:,故 A0 !,与杆处于微弯失稳状态的假设相矛盾!,临界力 Fcr 是杆微弯下的最小压力, 故只能取 n = 1 ; 且杆将绕惯性矩最小的方向弯曲。, 确定积分常数:,欧拉公式 ,临界压力的 计算公式 ,注意:压杆一定是绕惯性矩最小的平面内弯曲。,欧拉公式的应用条件:,1) 理想压杆;,2) 线弹性范围内;,3) 两端为球铰简支。,欧拉公式:,理想材料;轴线直线;轴向压力。,一、其他支座条件下细长压杆临界压力计算公式, 长度系数(或叫“约束系数”),方法(
7、1): 利用挠曲线近似微分方程,结合压杆的边界条件进行推导,与9.2节两端铰支的情况相同;,方法(2): 将不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状进行对比,,l 相当长度(或叫“有效长度”),9.3 其他支座条件下细长压杆的临界压力, “欧拉公式”,可得:,不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比:,一、其他支座条件下细长压杆临界压力计算公式, 长度系数(或叫“约束系数”),方法(1): 利用挠曲线近似微分方程,结合压杆的边界条件进行推导,与9.2节两端铰支的情况相同;,方法(2): 将不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状进行对比,,l 相当长度(或叫“有效长度”),9.3 其他支座条件下细长压杆的临
8、界压力, “欧拉公式”,可得:,不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比:,解:变形关于杆中点对称, 其挠曲线近似微分方程为:,F,l,例1 试由挠曲线近似微分方程,导出两端固定的细长压杆的临界压力计算公式。,解:变形关于杆中点对称, 其挠曲线近似微分方程为:,F,l,上微分方程的解:,确定积分常数:C、D,边界条件:,确定积分常数:,求最小临界压力, n 应取除零以外的最小值,,确定积分常数:,所以其临界压力为:,即 = 0.5,END, 压杆的临界力:, = 1.0,,解: 绕 y 轴,该杆两端为铰支:, = 0.7,, 绕 z 轴,左端固定,右端铰支:,y,x,z,y,z,b,h,l,例2
9、 求下图结构中细长压杆的临界压力。,END,不同支座条件下细长压杆的挠曲线形状对比:,例3 图示结构,两根直径为 d 的细长圆杆, 上下两端分别与刚性板固结,在总压力 F 作用下,求最小的临界载荷。,解:结构可能的失稳形式有以上三种:,(1) 两端固定(中心失稳),(2) 下端固定,上端自由,y为中性轴 (左右失稳),(3) 下端固定,上端自由,z 为中性轴(前后失稳),例3 图示结构,两根直径为 d 的细长圆杆, 上下两端分别与刚性板固结,在总压力 F 作用下,求最小的临界载荷。,(1) 两端固定(中心失稳):,(2) 下端固定,上端自由,y为中性轴 (左右失稳),(3) 下端固定,上端自由
10、, z 为中性轴 (前后失稳),得:,一、临界应力,细长压杆横截面上的平均临界应力:,定义:细长杆的柔度 (或叫“长细比”):,9.4 欧拉公式的适用范围 经验公式,细长压杆横截面上的平均临界应力:,注意: 一般情况下,杆件在不同的纵向平面内 具有不同的柔度值,而且压杆失稳首先发生在 柔度最大的纵向平面内。 因此,压杆的临界应力:cr 应按柔度的 最大值: max 来代入上式计算。,解:,30,10,F,l,例4 已知:l = 0.5 m,E = 200 GPa, 求下图中细长压杆的临界应力和临界压力。,END,y,F,l,例5 已知:l = 0.5 m,E = 200 GPa, 求下图中细长
11、压杆的临界应力和临界压力。,解:,z,END,二、欧拉公式的适用范围,欧拉公式的应用条件, 线弹性范围内:,max p :大柔度压杆或称为细长压杆,对于Q235钢:E = 206 GPa,p = 200 MPa:,1) 大柔度杆 或细长杆:,2) 中柔度杆或中长杆:,p cr s : s:屈服极限 p:比例极限,弹塑性失稳,弹性失稳,欧拉公式:, 经验公式 , 其中:a、b可查P301表9-2,2) 中柔度杆或中长杆:,p cr s :,弹塑性失稳, 经验公式,a、b查P301表13-2,max s:,3) 小柔度杆或粗短杆:,(塑性材料),(脆性材料),强度破坏,1) 大柔度杆或细长压杆:,
12、弹性失稳,三、临界应力总图,(b ),例6 一压杆长 l =1.5 m,由两根56568等边A3角 钢组成,两端铰支,压力F = 150 kN, p = 101, s = 62,试求临界压力。,解:一根角钢:,z,y,(端视图),图示两根角钢组合之后:,应由“经验公式”来求:,l = 1.5 m,F = 150 kN,p = 101, s = 62,, 为中柔度杆。,END,临界压力:,其中a、b查表9-2得:,nst 实际工作安全系数 nst 规定的安全系数,安全因数法, 压杆的稳定条件为 :, F st-稳定许用压力,st -稳定许用应力,9.5 压杆的稳定校核,例7 图示结构,杆1、2
13、的材料、长度均相同。 E = 200 GPa,l = 0.8 m, p= 99.3, s= 57, cr= 304 -1.12 (MPa), 若稳定安全系数nst=3, 求许可载荷 F 。,解:,s ,例7 图示结构,杆1、2 的材料、长度均相同。 E = 200 GPa,l = 0.8 m, p= 99.3, s=57, cr= 304 - 1.12l (MPa), 若稳定安全系数nst= 3, 求许可载荷 F 。,解:, 由平衡条件有:, 2杆首先失稳,nst= 3,END,例8 图示钢杆,材料E = 200 GPa,比例极限 p = 200 MPa,屈服极限 s = 240 MPa, 经
14、验公式 cr = 304 -1.12 (MPa), 求其工作安全系数。,A,B,C,F=30kN,900mm,800mm,解:,再求各段杆的:,A,B,C, AB段:两端固定:, BC段:一端固定, 一端铰支:,900mm,800mm,F=30kN,A,B,C, AB段:两端固定:, BC段:一端固定, 一端铰支:,900mm,800mm,F=30kN,END,规定的安全系数: n st = ? 许用轴压力: F st = ?,例9 图示正方形结构,五根圆杆直径为d = 40 mm,a = 1 m,材料相同,弹性模量E = 210 GPa,比例极限 p = 210 MPa,屈服极限s = 24
15、0 MPa,稳定安全系数 nst = 1.89,材料 = 160 MPa,求结构许可载荷 F 。,解: 平衡条件求内力:, 拉杆强度计算:, 压杆稳定计算:,d = 40 mm, = 160 MPa,E = 210 GPa,p = 210 MPa,a = 1 m,END,nst = 1.89,9.6 提高压杆稳定性的措施,1) 选用 I/A 大的截面形状:,一、选择合理的截面形状,2) 在l 相同时,使各主惯性平面内的 均相等:,二、减小压杆支承间的长度 l,增加中间支座,提高4倍,三、设计压杆杆端的合理约束条件, 使 尽量减小 :,杆端约束刚性越好,压杆的长度因数 就越小, 其柔度max 值也就越小,临界应力cr就越大。,设计压杆杆端的合理约束条件,使 尽量减小 :,Fcr,8.16Fcr,16Fcr,例如:,杆端约束刚性越好,压杆的长度因数 就越小, 其柔度max 值也就越小,临界应力cr就越大。,四、合理选用材料,1) 对大柔度压杆,临界应力只与弹性模量有关, 而各种钢材的弹性模量 E 大致相等, 故选材无大的差别,2) 而对于中、小柔度杆,则临界应力与材料的 强度(p、S)有关,对于优质钢材其性能 强度高,因此选择其优越性比较明显。,END,三、临界应力总图,
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