《第三章定解条件与定解问题的提法.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第三章定解条件与定解问题的提法.ppt(19页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、定解条件与 定解问题的提法,3.1 定解条件,n 阶常微分方程的通解含有 n个任意常数, 要完全确定这些常数需要附加 n个条件。,能不能求解?解是什么?, 由此可归纳出,能不能定解?该怎么办?,能不能求解?解是什么?,能不能定解?该怎么办?, 方程, 方程,要想完全确定一个物理过程除了控制方程(一般指偏微分方程)外,还需要给定初始和边界条件。,表征和控制物理现象的方程,称为控制方程或泛定方程。由前面有关三种典型方程的推导过程得出,不同的物理现象具有不同的物理规律,其控制方程也是不同的。,同一类物理现象中,各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史,即个性。,初
2、始条件:能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件,即描述物理过程初始状态的数学条件。,边界条件:能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件,即描述物理过程边界状态的数学条件。,3.2 定解条件的形式和定解问题,定解问题=控制方程+定解条件,非稳态问题:定解条件包括初始条件和边界条件。,稳态问题:定解条件为边界条件。,根据分析问题的不同出发点,把数学物理问题分为正向问题和逆向问题。,不同出发点,正向问题,即为已知源求场,逆向问题,即为已知场求源.,前者是经典数学物理所讨论的主要内容。 后者是高等数学物理(或称为现代数学物理)所讨论的主要内容,从物理规律角度来分析,数学物理定解问题表征的
3、是场和产生这种场的源之间的关系。,一维波动方程描述了弦做微小横振动时位移函数所应满足的一般性规律,但仅仅利用它还不能完全确定所考察弦的运动状况,这是因为它的运动还与初始状态以及边界条件所处的状况有关。, 波动方程的定解条件, 初始条件描述系统的初始状态,系统各点的初位移 系统各点的初速度,设弦在初始时刻 时的位置和速度为:, 边界条件描述系统在边界上的状况,第二类边界条件:一 端既不固定,又不受位移方向力的作用,第一类边界条件:对于两端固定的弦的振动,其为:,或:,第三类边界条件: 在x=l 端受到弹性系数为k 的弹簧的支承,或,或:,【解】 初始时刻就是放手的那一瞬间, 按题意初始速度为零,
4、即有,初始位移如图所示, 波动方程的定解问题,定解问题=控制偏微分方程(泛定方程)+初始条件 +边界条件,混合问题,定解问题=控制偏微分方程(泛定方程)+初始条件,初值问题(柯西问题),定解条件=初始条件+边界条件,特解, 确定泛定方程:,弦作自由(无外力)横振动,所以泛定方程为齐次波动方程,【解】, 确定边界条件,对于弦的固定端,显然有,另一端自由,意味着其张力为零,则, 确定初始条件,初始速度,综上讨论,故定解问题为,例: 长为l 的杆,上端固定在电梯的顶杆上,杆身竖直,下端自由 。电梯在下降过程中,当速度为v0 时突然停止。试写出杆振动的定解问题。, 扩散方程的定解条件, 初始条件描述系
5、统的初始状态,式中( x, y, z )为已知函数,表示温度在初始时刻的分布。, 边界条件描述系统在边界上的状况,第二类边界条件:通过介质表面单位面积的热流量己知,第一类边界条件:介质表面温度已知,第三类边界条件:边界面与周围空间的热量交换规律已知,式中,p为边界面上的点。,由热量守恒定律可知,这个热量等于单位时间内流过单位面积上的热量, 扩散方程的定解问题,定解问题=控制偏微分方程(泛定方程)+初始条件 +边界条件,混合问题,定解问题=控制偏微分方程(泛定方程)+初始条件,初值问题(柯西问题),定解条件=初始条件+边界条件,特解, 拉普拉斯和泊松方程的定解条件,第二边值问题,牛曼问题,第一边值问题,狄利克莱问题(狄氏问题),第三边值问题(混合问题)鲁宾问题,对于稳态问题,变量不随时间发生变化。定解条件不含初始条件,只有边界条件。,泛定方程 边界条件 初始条件,定解问题,波动方程 热传导方程 稳态方程 第一类边界条件 第二类边界条件 第三类边界条件 初始状态 初始速度,
链接地址:https://www.31doc.com/p-2913893.html