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1、第十章 平面图形的几何性质,确定尺寸,拉压:应力均布,仅需满足 , 不考虑形状;,扭转与弯曲?,材料力学任务之一,应力分布是否均匀?,是否也不考虑形状?,与截面大小、形状有关,10-1 形心和静矩 10-2 极惯性矩、惯性矩和惯性半径 10-3 组合图形的惯性矩,第十章 平面图形的几何性质,y,z,o,y,z,一、截面形心 C 的坐标,均质薄板的重心与平面图形的形心有相同的坐标。,10-1 形心和静矩,二、 静矩,定义微元对 z , y 轴的静矩为:,静矩可正,可负,也可能等于零。,平面图形面积与某一轴的一次矩,,,定义图形对 z , y 轴的静矩为:,截面对形心轴的静矩,若截面对某一轴的静矩
2、等于零,,三、已知形心求静矩,则该轴必过形心。,等于零。,同样,已知静矩可求形心,四 、 组合截面形心计算,等于截面各组成部分对于同一轴的静矩之代数和。,组合截面对某一轴的静矩:,由几个简单图形组成的截面称为组合截面,1、组合截面静矩的计算公式,2、组合截面形心坐标的公式,例1: 已知:截面尺寸如图。求:该截面的形心位置。,20,100,例2:求图示图形的形心,100,例3:求图示图形的形心,20,200,200,10,10,10-2 极惯性矩、惯性矩和惯性半径,一、极惯性矩,微元对坐标原点的极惯性矩,图形对坐标原点的极惯性矩,二、惯性矩,1、 微元对z轴的惯性矩,2、 图形对z轴的惯性矩,平
3、面图形对某一轴的二次矩,长度的四次方,,总为正,同理,3、极惯性矩与惯性矩之间的关系,图形对任意两个互相垂直轴的惯性矩之和,,等于它对该两轴交点的极惯性矩。,4 、几种常见截面对本身形心轴的惯性矩,dy,c,(1)、矩形截面,扭转,(2)实心圆截面:,(3)、空心圆截面,三、惯性半径,惯性半径,(单位: ),惯性积则可能为正值,负值,,也可能等于零。,图形对y、z两轴的惯性积,微元对 x , y 轴的惯性积为,四、惯性积,图形的对称轴,,若坐标轴中有一个为,则图形对这对坐标轴的惯性积,一定等于零,在何种条件下,图形对坐标轴的惯性积为零?,若,则该对坐标轴称为主惯性轴(主轴)。,对称轴一定是主轴
4、,,主轴,主轴不一定是对称轴,对形心主惯性轴的惯性矩。,主惯性轴:,图形对一对正交的坐标轴的惯性积等于零;,主惯性矩:,对主惯性轴的惯性矩。,形心主惯性轴:,通过图形形心的主惯性轴。,形心主惯性矩:,几个常用概念,10-3 组合图形的惯性矩,(a , b ) :,形心C 坐标,一、平行移轴公式,同理得到:,惯性积,平行移轴公式,1 两平行轴中,必须有一轴为形心轴,截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系,应通过平行的形心轴惯性矩来换算;,2 图形对所有平行轴的惯性矩中,以对通过形心轴的惯性矩最小.,注意:,二、组合截面的惯性矩 惯性积,例1:T字形截面,求其对形心轴的惯性矩。,(1)求形心,C,任选
5、参考坐标系,(2)求,一、 转轴公式, 逆時针转取为 + 号,,5 转轴公式与主惯性轴,同理,改写为,并且,主轴的方位,主惯性矩,计算主惯性矩的第一组公式,0 0+,从而确定了一对坐标轴yo和 zo,惯性积Iy1z1=0,该对坐标轴是图形的主轴,惯性矩的极值方位就是主轴方位,图形对主轴y0 z0 的主惯性矩计算,图形对主轴的惯性矩,几个结论,1 图形对过一点的任意一对正交轴的惯性矩之和保持常量;,2 在过同一点的所有正交轴中,,图形对主轴的惯性矩,另一个为最小值;,一个为最大值,,3 此公式适用于水平轴为y轴,1 确定形心 的位置,2 选择一对通过形心且便于计算惯性矩(积)的坐 标轴 yc ,
6、zc,求形心主惯性矩的步骤,计算图形对形心轴的惯性矩 Iy , Iz 和惯性积 Iyz,3 确定主惯性轴的位置,0 0+,4 计算形心主惯性矩,5 方位与形心主惯性矩的对应关系,如果,确定图形的形心主轴位置,并计算形心主惯性矩,(1)首先确定图形的形心。,(2) 利用平行移轴公式分别求出各矩形对y轴和z轴的惯性矩和惯性积,矩形I,矩形:,矩形:,整个图形对轴和轴的惯性矩和惯性积为,(3)形心主轴方位,逆时针旋转,160,11,(4)0 0+90的两个值分别确定了形心主轴位置,例 计算所示图形的形心主惯性矩。,形心主惯形矩为,形心主轴的位置,逆时针转 113.80,对应主惯性矩的最大值,1、正交
7、坐标轴Y、Z为杆件横截面的形心主惯性轴的条件是: 。 A:IYZ0; B:SYSZ0; C:SYSZ0,IYZ0; D:IYIZ0,IYZ0,2、图示中圆截面的直径为d,当其圆心沿X轴向右移d/2时,该图形对Y轴的惯性矩为( ),静矩( )。,3、图示中的几何图形由两个直径相等的圆截面组成。该图形对形心主轴的惯性矩IY为( ),IZ为( )。,4、在2a4a的矩形截面中挖去一个直径为的圆,该图形对Z轴的惯性矩为( )。,5 试求图示各截面的阴影线面积对x轴的静矩。,6 由四个的等边角钢组成图示两种形状的截面,试比较其形心主惯性矩的大小。,7、在直径D的圆截面中,开了一个的矩形孔,如图所示。试求此截面对其水平形心轴和竖直形心轴的惯性矩Ix和Iy。,8 求图示截面的惯性积。,9 试确定图示各截面的形心位置。,10 确定图示截面的形心主惯性轴的位置,并求形心主惯性矩。,小结,1、静矩与形心,2、极惯性矩,3、惯性矩,4、平行移轴公式,本章结束,
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