第四章空间轴对称问题.ppt
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1、若弹性体的几何形状对称于某一轴线,我们称这样的结构为轴对称结构。空间轴对称结构根据其所受的外载荷和约束对称其对称轴与否,可分为两种情况: 1) 轴对称结构受有轴对称载荷和约束,称这种结构的弹性力学问题为轴对称问题; 2) 轴对称结构受有非对称载荷和约束,称这种结构的弹性力学问题为一般空间弹性力学问题的特殊情况。 研究上述两种问题,采用圆柱坐标系 比较方便。,第四章 空间轴对称问题,由于空间轴对称问题的几何形状,约束情况及轴对称弹性体所受的外载荷都对称于z轴,如图,故这种弹性体内各点的各项应力分量、应变分量和位移分量也都对称于z轴,而与环向坐标 无关,所谓各项应力分量、应变分量和位移分量都与 坐
2、标无关,其含义是,在任何一个过z轴的子午面上的位移、应变和应力的分布规律都相同。,4-1 轴对称问题的弹性力学基本方程,由于各分量都对称于z轴,与 无关,因此弹性体内各点只可能存在着径向位移u和轴向位移w(此时,u, w只是r, z的函数),而环向位移v = 0。则必有剪应变 ,否则这种轴对称问题的弹性体将不能保持轴对称状态而发生歪扭,这在实际中是不可能出现的。,根据轴对称问题弹性体的上述特点,即v = 0,,,,。其平衡微分方程为:,(4-1),几何方程为,物理方程,式中,轴对称问题弹性体的弹性矩阵;,轴对称问题弹性体的应变列阵。,(4-2),(4-3),根据轴对称问题的特点,我们只须考查轴
3、对称结构的任意子午面上各单元的各应力分量和各结点的位 移分量。在轴对称结构的任意子午面上 (即rz平面)任取一个三角形单元i,j,m, 基本未知量仍然取结点位移,单元的结 点位移可用列阵表示为,(4-4),4-2 三角形截面环单元,图5-1 轴对称结构,仿照平面问题,取线性位移模式,类似于平面三角形单元的推导,可得,(b),(a),其中形函数,(c),而,(4-5),(4-6),(b)式也可写成矩阵形式,(d),将(b)式代入几何方程(4-2)式,得到单元体内的应变,即,(e),其中,(e)式仍然还可以简化成,其中,(f),(4-7),由此可见,单元中的应变分量 都是常量,但是环向正应变 不是
4、常量,它与 中的r有关。,单元的应力分量仍可表示为,(h),其中,而,(i),(4-8),显然,只有应力分量 在单元中为常量外,其余三个正应力在单元中都不是常量。在实用上,为了简化计算和消除对称轴上由于r = 0所引起的麻烦,常把各个单元中的r及z近似地当作常量,并且分别等于各单元形心的坐标,即,于是(f)式成为,这样就可把各单元近似地当作常应变单元。将(j)、(k)式代入(4-7)和(4-8)式求得的是单元形心处应变和应力的近似值。,(j),现在,再运用虚功原理求导轴对称结构上任意单元的刚度矩阵,。由虚功原理知:三角形断面的环形单元体积所吸收的虚变形能应等于单元结点力所做的虚功:,假设单元的
5、虚位移为,则单元的虚应变为,4-3 单元刚度矩阵,(a),(b),将上式代入(a)式,并注意到,,得,由于虚位移是任意的,所以有,(d),上式右边与单元结点位移列阵 相乘的矩阵便是单元刚度矩阵,它也可以写成下列分块形式,其中的子矩阵为,(4-11),(4-9),(4-10),由于在轴对称问题的矩阵 中出现坐标r、z,所以(4-11)式的积分运算比平面问题要复杂得多。现在仍取单元形心的坐标,替代 矩阵中的坐标r、z作为一次近似,得到一个近似的单元刚度矩阵。此时,(4-11)式成为,(4-12),对于整体刚度矩阵,如果弹性体被划分为 个单元和 n 个结点,于是就可得到 个型如(d)式的方程组。与平
6、面问题的情况完全相类似的处理,把各单元的 、 、 等都加以扩大到整个结构的自由度的维数,然后叠加得到,(f),引进记号: 载荷列阵,(4-13),整体刚度矩阵,于是(f)式便可以写成与平面问题相同的标准形式,这就是求解结点位移的平衡方程组。,(4-14),(g),整体刚度矩阵也可以写成分块形式,其中子矩阵为,和平面问题一样,整体刚度矩阵 是对称的带状稀疏阵,在消除刚体位移后,它是正定的。,(g)式右边的载荷列阵展开的形式为,其中,(b),4-4 等效结点力的计算,载荷列阵,(a),与平面问题一样,等效结点力也是由作用在环形单元上的集中力、表面力和体积力分别移置到结点上而得到的。移置的原则也是根
7、据这些力和等效结点力在任意虚位移上所作的虚功相等,即,式中 为集中载荷 作用点的径向坐标。将上节(b)式代入上式并考虑到 ,上式可以化成,式中右边第一项是环形单元上的集中力 移置到结点的等效结点力,第二项是环形单元上表面力 的等效结点力,第三项是环形单元体积力 的等效结点力。,(c),采用平面问题中相同的符号: 集中力的等效结点力,表面力的等效结点力,体积力的等效结点力,(4-19),(4-17),(4-18),于是(c)式可以改写成,再将上式代入(a)式,等效载荷列阵可写成,将(4-18)、(4-19)式和(2-39)、(2-40)式比较可见,在轴对称情况下积分号后的被积函数比平面问题的多一
8、个变量r,所以虽然也是采用线性位移模式,但是不能象平面问题那样利用刚体的静力等效原则求得结点等效力。当体积力或表面力可表示为坐标r和z的多项式时,不难利用(2-25)或(2-26)式精确积分得到等效结点力。,(d),(e),1. 体积力 (1) 自重。在此情况下 ;其中 为密度。于是单元的自重移置到结点i,j,m上的等效结点力为,由类似等参元的坐标变换式,将r写成,(f),(f),这样就得到,代入(f)式即得,如果单元离开对称轴较远 ,可以认为将,的自重移置到每个结点上。,(4-20),(2) 离心力。在此情况下 ,其中 为角速度。于是单元的离心力移置到结点i,j,m上的等效结点力,注意到(f
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