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1、解直角三角形,直角三角形,a2+b2=c2(勾股定理),A+B=90,练习: 在RtABC中,C=90,AC=12, AB=13,则有 根据勾股定理得: BC=_=_ sinA =_=_ cosA =_ = _ tanA =_=_ cotA = _ = _,5,132-122,12,13,5,解直角三角形应用 -测高问题,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线的上 方的角叫做仰角。视线在水平线下方的角叫做 俯角。仰角与俯角都是视线与水平线所成的角。,例.如图,我班的一个学生小组进行测量小山高度的实践活动部分同学在山脚点A测得山腰上一点D的仰角为30,并测得AD的长度为180米;另一部分同学在山
2、顶点B测得山脚点A的俯角为45,山腰点D的俯角为60请你帮助他们计算出小山的高度BC(计算过程和结果都不取近似值),在RtADF中,AD=180,DAF=30, DF=90,AF=90,解:如图设BC=x,,例.如图,在观测点E测得小山上铁塔顶A的仰角为60,铁塔底部B的仰角为45已知塔高AB=20m,观察点E到地面的距离EF=35m,求小山BD的高(精确到0.1m,,1.732),4解:如图,过C点作CEAD于C,BD=BC+CD=BC+EF,+10,例:在山脚C处测得山顶A的仰角为45.问题如下:(1)沿着水平地面向前300m到达D点,在D点测得山顶A的仰角为60 ,求山高AB.,D,x,
3、300m,练习: 如图,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角为45,求塔高.,练习: 从20米高的甲楼顶 A 处望乙楼顶C处的仰角为30,望乙楼底D处的俯角为45,求乙楼的高度。,A,C,水平线,D,B,甲,乙,20m,30 ,45,解直角三角形应用 -坡度问题,如图,坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l) 的比叫做坡面坡度(或坡比).记作i,即i= .,探索新知,坡度通常写成1m的形式,如i=16.,坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,即i =tan a 显然,坡度越大,坡角a就越大,坡面就越陡.,在修路、挖河、开渠和筑坝时,设计图纸上都要注
4、明斜坡的倾斜程度.,练习: (1)一段坡面的坡角为60,则坡度i=_;,(2)已知一段坡面上,铅直高度为 , 坡面长为 , 则坡度i_,坡角_。,你会算吗?,1 坡角=45坡比i=,11,30,例1、一段河坝的断面为梯形ABCD,BC=4.5 高为4米,试根据图中的数据,求出坝底宽AD。,E,F,解:作BFAD于F ,CE AD于E BF:AF=1:2 又BF=4 AF=8 CE:DE=1:3 CE=4 DE=12 BC=4.5 EF=4.5 AD=AF+EF+DE =8+4.5+12 =24.5(米) 答:坝底宽AD为24.5米。,例2.水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高 23m,斜坡
5、AB的坡度i=13,斜坡CD的坡度 i=12.5,求: (1)坝底AD与斜坡AB的长度。(精确到0.1m ) (2)斜坡CD的坡角。(精确到 ),E,F,解:(1)分别过点B、C作BEAD,CFAD, 垂足分别为点E、 F,由题意可知,在RtABE中,BE=CF=23m EF=BC=6m,在RtDCF中,同理可得,=69+6+57.5 =132.5m,在RtABE中,由勾股定理可得,(2) 斜坡CD的坡度i=tan=1:2.5 = 0.4 由计算器可算得,E,F,答:坝底宽AD为132.5米,斜坡AB 的长约为72.7米斜坡CD的坡角约 为22。,(2012内江)水利部门为加强防汛工作,决定对
6、某水库大坝进行加固,大坝的横截面是梯形.如图所示,已知迎水坡面AB的长为16米,背水坡面的长为 米,加固后大坝的横截面积为梯形ABED,CE的长为8米。 已知需加固的大坝长为150米,求需要填土石方多少立方米? 求加固后的大坝背水坡面的坡度。,课堂小结:,1弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念的意义,明确各术语与示意图中的什么元素对应,只有明确这些概念,才能恰当地把实际问题转化为数学问题,2认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形,或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题,3选择合适的边角关系式,使计算尽可能简单,且不易出错,4按照题中的精确度进行计算,并按照题目中要求的精确度确定答案以及
7、注明单位,解直角三角形应用 -航海问题,方向角,北,东,西,南,例题:某船自西向东航行,在A出测得某岛在北偏东 60的方向上,前进8千米测得某岛在船北偏东45 的方向上,问(1)轮船行到何处离小岛距离最近? (2)轮船要继续前进多少千米?,A,北,南,西,东,北,南,西,东,某船自西向东航行,在A出测得某岛在北偏东60的 方向上,前进8千米测得某岛在船北偏东45 的方向 上,问(1)轮船行到何处离小岛距离最近? (2)轮船要继续前进多少千米?,如图,河对岸有水塔AB.在C处测得塔顶A的仰角为30,向塔前进12m到达D,在D处测得A的仰角为45,求塔高.,小结: 本例告诉我们在应用解直角三角形解
8、决测量问题时,一般要先画 出测量示意图, 然后借助示意图,利用直角三角形中角、边之间的 数量关系求出所要求的距离或角度.,30,45,8千米,A,B,C,D,某船自西向东航行,在A出测得某岛在北偏东60的 方向上,前进8千米测得某岛在船北偏东45 的方向 上,问(1)轮船行到何处离小岛距离最近? (2)轮船要继续前进多少千米?,解:,练习1:如图所示,某船以每小时36海里的速度向正东航行,在A点测得某岛C在北偏东60方向上,航行半小时后到B点,测得该岛在北偏东30方向上,已知该岛周围16海里内有暗礁,(1)试说明B点是否在暗礁区域外 (2)若继续向东航行,有无触礁危险?请说明理由,D,解:(1
9、)AB=360.5=18, ADB=60,DBC=30, ACB=30又CAB=30, BC=AB=1816, B点在暗礁区域外 (2)过C点作CHAF,垂足为H,在RtCBH中,BCH=30, 令BH=x,则CH=x,在RtACH中,CAH=30,AH=CH, 18x=-x,x=9,CH=916, 船继续向东航行有触礁的危险 答:B点在暗礁区域外,船继续向东航行有触礁的危险,1.解直角三角形,就是在直角三角形中,知道除直角外的其他 五个元素中的两个(其中至少有一个是边),求出其它元素的 过程. 2.与之相关的应用题有:求山高或建筑物的高;测量河的宽度 或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键就是 把实际问题转化为数学问题,结合示意图,运用解直角三角 形的知识. 3.当遇到30,45,60等特殊角时,常常添加合适的辅助线分割 出包含这些角度的直角三角形来解决某些斜三角形的问题. 4.应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行: 寻找直角三角形,若找不到,可构造; 找到的直角三角形是否可解,若不可直接求解,利用题中 的数量关系,设x求解.,【课堂点睛】 :,
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