计量经济学9.ppt
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1、第八章 非平稳时间序列和协整模型,第一节 非平稳时间序列与虚假回归,时间序列数据分为平稳时间序列和非平稳时间序列。当时间序列含有单位根时,它就是一个非平稳时间序列。从1974年开始计量经济学工作者渐渐意识到当用含有单位根的时间序列建立经典计量经济模型时会出现所谓“虚假回归”(Sparious Regressions)问题。,随机游走序列Xt=Xt-1+t经差分后等价地变形为 Xt=t, 由于t是一个白噪声,因此差分后的序列Xt是平稳的。 如果一个时间序列经过一次差分变成平稳的,就称原序列是一阶单整(integrated of 1)序列,记为I(1)。,一、单整性,一般地,如果一个时间序列经过d
2、次差分后变成平稳序列,则称原序列是d 阶单整(integrated of d)序列,记为I(d)。 显然,I(0)代表一平稳时间序列。 单整阶数大于零的过程称为单整过程。 现实经济生活中: 1)只有少数经济指标的时间序列表现为平稳的,如利率等;,2)大多数指标的时间序列是非平稳的,如一些价格指数常常是2阶单整的,以不变价格表示的消费额、收入等常表现为1阶单整。 大多数非平稳的时间序列一般可通过一次或多次差分的形式变为平稳的。 但也有一些时间序列,无论经过多少次差分,都不能变为平稳的。这种序列被称为非单整的(non-integrated)。,对于I(d) 过程xt,,(L) (1- L) d x
3、t = (L) ut,因含有d个单位根,所以常把时间序列单整阶数的检验称为单位根检验(unit root test)。,若xt I(d),yt I(c),则,zt = (a xt + b yt) I (maxd, c)., zt = (a xt + b yt) = (a xt + b yt) - (a xt-1 + b yt-1) =(a xt + b yt),当 c d 时, zt 只有差分c次才能平稳。一般来说,若 xt I (c),yt I (c),则,zt = (a xt + b yt) I (c).,如果两个或两个以上同阶单整的 非平稳时间序列的线性组合是平稳时间序列, 则这些变量之
4、间的关系就是协整的,但也有zt的单整阶数小于c的情形。当zt 的单整阶数小于c时,则称xt与yt存在协整关系。,二、常见的非平稳过程,1.随机游走过程(random walk,图8.1b),yt = yt-1 + ut, ut IID(0, 2) (8.1),随机游走的差分过程是平稳过程(白噪声过程):,yt = ut,a.白噪声序列(2=1),b. 随机游走序列( 2=1 ),2.随机趋势非平稳过程(stochastic trend process)或差分平稳过程(difference- stationary process)、有漂移项的非平稳过程(non-stationary proces
5、s with drift)。,yt = + yt-1 + ut, ut IID(0, 2) (8.2),迭代变换,,yt = + ( + yt-2 + ut-1) + ut = = y0 + t +,= t +,因为随机趋势过程是由一个确定性时间趋势t和一个随机游走组合而成,所以随机趋势过程由确定性时间趋势所主导,表现出很强的趋势性。yt围绕着t变化,但不会回到t。趋势的方向完全由的符号决定。为正时,趋势向上,见图8.1c;为负时,趋势向下,见图8.1d。,c.随机趋势非平稳序列( = 0.1),d.随机趋势非平稳序列( = -0.1),随机性趋势可通过差分的方法消除 例如:对式: Xt=+X
6、t-1+t 可通过差分变换为: Xt= +t 该时间序列称为差分平稳过程(difference stationary process);,3.趋势平稳过程(trend-stationary process)或退势平稳过程,见图8.2a,yt = + t + ut, ut IID(0, 2) (8.3),该过程是由确定性趋势 + t和平稳随机过程ut 组成,所以称为趋势平稳过程。趋势平稳过程由确定性时间趋势t所主导。减去确定性时间趋势项t之后,过程变为平稳过程,所以也称退势平稳过程。,趋势平稳过程的差分过程是过度差分过程: yt = +ut - ut-1 。 所以应该用退势的方法获得平稳过程:
7、yt - t = + ut 。,a.退势平稳序列( =0, =0.1),b.确定性趋势非平稳序列( =0.1, =0.1),图8.2 趋势平稳过程,4.确定性趋势非平稳过程(non-stationary process with deterministic trend),如图8.2d。,yt = + t + yt-1+ ut, ut IID(0, 2) (8.4),确定性趋势非平稳过程中含有随机趋势、确定性趋势并含有单位根成分。过程由确定性时间趋势所主导。减去确定性时间趋势项之后,过程仍是非平稳过程。这种过程的时间趋势性比随机趋势非平稳过程和退势平稳过程更强烈、明显。确定性趋势非平稳过程只有既
8、差分又退势才能得到平稳过程。,三、单整过程的统计特征,以随机游走过程和平稳的AR(1)过程作比较。,随机游走过程 xt = xt-1 + ut , x0 = 0, ut IN (0, u2),有:,xt = xt-2 + ut-1 + ut = =,(具有永久记忆性),E( xt) = E( )=0,(随t的增加,方差变为无穷大),下面求xT 和 xT-k的相关系数k 。,Cov(xT, xT-k) = E(xT xT-k) = E(,) = E( ),= (T - k) u2 (8.5),k = = = = (8.6),对于AR(1) 过程 yt = 1 yt-1 + ut , 1 1, y
9、0 = 0, ut IN (0, u2) , 有,yt = ut + 1 ut-1 + 12 ut-1 + + 1t-1 u1 =,( yt只有有限记忆力),E( yt) = E( )=0,(方差为有限值),AR(1) 过程的自相关系数公式,k = 1k(推导略),表8.1 随机游走过程和平稳的一阶自回归过程统计特征比较,四、 虚假回归, 用蒙特卡罗模拟方法分析相关系数的分布。,ut IN(0, 1), ut I (0) vt IN(0, 1), vt I (0),每次生成T=100的相互独立的ut 和vt ,并计算相关系数Ruv。重复1万次,从而得到Ruv 的分布。,xt = xt-1 +
10、ut , x0 = 0, xt I (1),yt = yt-1 + vt , y0 = 0, yt I (1),利用 ut和vt,每次生成T=100的 xt和yt 并计算Rxy。 重复1万次,从而得到Rxy的分布。,pt = pt-1 + xt , p0 = 0, pt I (2),qt = qt-1 + yt , q0 = 0, qt I (2),利用 xt 和 yt ,每次生成T=100的pt 和qt并计算Rpq。重复1万次,从而得到Rpq 的分布。,两个相互独立的I(0)变量 ut和vt 的相关系数 Ruv的分布为正态(见图8.3.a)。 2. 两个相互独立的I(1)变量xt 和yt 的
11、相关系数 Rxy的分布为倒U形(见图8.3b)。 3. 两个相互独立的I(2)变量pt 和qt 的相关系数 Rpq的分布为U形(见图8.3c)。,ut IN(0, 1), ut I (0) vt IN(0, 1), vt I (0),a,b,c,图8.3 不同情况下相关系数的分布,问题的严重性在于当变量非平稳时,认为R服从的是 正态分布,但实际上R服从的却是图8.3b和图8.3c那样 的倒U和U字型分布,因此增加了零假设(H0: ) 的拒绝概率,本不相关的两个变量结论却是相关!,前文已指出,一些非平稳的经济时间序列往往表现出共同的变化趋势,而这些序列间本身不一定有直接的关联关系,这时对这些数据
12、进行回归,尽管有较高的R2,但其结果是没有任何实际意义的。这种现象我们称之为虚假回归或伪回归(spurious regression)。,对时间序列的平稳性除了通过图形直观判断外,运用统计量进行统计检验则是更为准确与重要的。 单位根检验(unit root test)是统计检验中普遍应用的一种检验方法。 1、DF检验 我们已知道,随机游走序列 Xt=Xt-1+t 是非平稳的,其中t是白噪声。 而该序列可看成是随机模型 Xt=Xt-1+t 中参数=1时的情形。,第二节 单位根检验,也就是说,我们对式 Xt=Xt-1+t (*) 做回归,如果确实发现=1,就说随机变量Xt有一个单位根。,(*)式可
13、变形式成差分形式: Xt=(1-)Xt-1+ t =Xt-1+ t (*),检验(*)式是否存在单位根=1,也可通过(*)式判断是否有 =0。,一般地:,检验一个时间序列Xt的平稳性,可通过检验带有截距项的一阶自回归模型 Xt=+Xt-1+t (*) 中的参数是否小于1。,或者:检验其等价变形式 Xt=+Xt-1+t (*) 中的参数是否小于0 。,在第二节中将证明,(*)式中的参数1或=1时,时间序列是非平稳的; 对应于(*)式,则是0或 =0。,因此,针对式 Xt=+Xt-1+t 我们关心的检验为:零假设 H0:=0。 备择假设 H1:0,上述检验可通过OLS法下的t检验完成。 然而,在零
14、假设(序列非平稳)下,即使在大样本下t统计量也是有偏误的(向下偏倚),通常的t 检验无法使用。 Dicky和Fuller于1976年提出了这一情形下t统计量服从的分布(这时的t统计量称为统计量),即DF分布。 由于t统计量的向下偏倚性,它呈现围绕小于零值的偏态分布。,因此,可通过OLS法估计 Xt=+Xt-1+t 并计算t统计量的值,与DF分布表中给定显著性水平下的临界值比较: 如果:t临界值,则拒绝零假设H0: =0, 认为时间序列不存在单位根,是平稳的。,注意:在不同的教科书上有不同的描述,但是结果是相同的。 例如:“如果计算得到的t统计量的绝对值大于临界值的绝对值,则拒绝=0”的假设,原
15、序列不存在单位根,为平稳序列。,进一步的问题:在上述使用 Xt=+Xt-1+t 对时间序列进行平稳性检验中,实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。 但在实际检验中,时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的,或者随机误差项并非是白噪声,这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation),导致DF检验无效。,2、ADF检验,另外,如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种 趋势(如上升或下降),则也容易导致上述检验中的 自相关随机误差项问题。 为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性, Dicky和Fuller对DF检验进行了
16、扩充,形成了ADF (Augment Dickey-Fuller )检验。,ADF检验是通过下面三个模型完成的:,模型3 中的t是时间变量,代表了时间序列随时间变化的某种趋势(如果有的话)。 检验的假设都是:针对H1: 0,检验 H0:=0,即存在一单位根。模型1与另两模型的差别在于是否包含有常数项和趋势项。,实际检验时从模型3开始,然后模型2、模型1。,何时检验拒绝零假设,即原序列不存在单位根,为平稳序列,何时检验停止。否则,就要继续检验,直到检验完模型1为止。 检验原理与DF检验相同,只是对模型1、2、3进行检验时,有各自相应的临界值。,同时估计出上述三个模型的适当形式,然后通过ADF临界
17、值表检验零假设H0:=0。 1)只要其中有一个模型的检验结果拒绝了零假设,就可以认为时间序列是平稳的; 2)当三个模型的检验结果都不能拒绝零假设时,则认为时间序列是非平稳的。 这里所谓模型适当的形式就是在每个模型中选取适当的滞后差分项,以使模型的残差项是一个白噪声(主要保证不存在自相关)。,一个简单的检验过程:,例 检验19782000年间中国支出法GDP时间序列的平稳性。,1)经过偿试,模型3取了2阶滞后:,通过拉格朗日乘数检验(Lagrange multiplier test)对随机误差项的自相关性进行检验: LM(1)=0.92, LM(2)=4.16,,小于5%显著性水平下自由度分别为
18、1与2的2分布的临界值,可见不存在自相关性,因此该模型的设定是正确的。 从的系数看,t临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 时间T的t统计量小于ADF分布表中的临界值,因此不能拒绝不存在趋势项的零假设。需进一步检验模型2 。,2)经试验,模型2中滞后项取2阶:,LM检验表明模型残差不存在自相关性,因此该模型的设定是正确的。 从GDPt-1的参数值看,其t统计量为正值,大于临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 常数项的t统计量小于AFD分布表中的临界值,不能拒绝不存常数项的零假设。需进一步检验模型1。,3)经试验,模型1中滞后项取2阶:,LM检验表明模型残差项不存在自相关性,因此模型的设定是正确
19、的。 从GDPt-1的参数值看,其t统计量为正值,大于临界值,不能拒绝存在单位根的零假设。 可断定中国支出法GDP时间序列是非平稳的。,第三节 经济变量的协整,一、均衡与协整,经典回归模型(classical regression model)是建立在稳定数据变量基础上的,对于非稳定变量,不能使用经典回归模型,否则会出现虚假回归等诸多问题。 由于许多经济变量是非稳定的,这就给经典的回归分析方法带来了很大限制。 但是,如果变量之间有着长期的稳定关系,即它们之间是协整的(cointegration),则是可以使用经典回归模型方法建立回归模型的。,例如,中国居民人均消费水平与人均GDP变量的例子中:
20、 因果关系回归模型要比ARMA模型有更好的预测功能, 其原因在于,从经济理论上说,人均GDP决定着居民人均消费水平,而且它们之间有着长期的稳定关系,即它们之间是协整的(cointegration)。,经济理论指出,某些经济变量间确实存在着长期均衡关系,这种均衡关系意味着经济系统不存在破坏均衡的内在机制,如果变量在某时期受到干扰后偏离其长期均衡点,则均衡机制将会在下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。 假设X与Y间的长期“均衡关系”由式描述,长期均衡,式中:t是随机扰动项。 该均衡关系意味着:给定X的一个值,Y相应的均衡值也随之确定为0+1X。,在t-1期末,存在下述三种情形之一:,(1)Y等于
21、它的均衡值:Yt-1= 0+1Xt ; (2)Y小于它的均衡值:Yt-1 0+1Xt ; 在时期t,假设X有一个变化量Xt,如果变量X与Y在时期t与t-1末期仍满足它们间的长期均衡关系,则Y的相应变化量由式给出:,式中,vt=t-t-1。,实际情况往往并非如此,如果t-1期末,发生了上述第二种情况,即Y的值小于其均衡值,则Y的变化往往会比第一种情形下Y的变化Yt大一些; 反之,如果Y的值大于其均衡值,则Y的变化往往会小于第一种情形下的Yt 。 可见,如果Yt=0+1Xt+t正确地提示了X与Y间的长期稳定的“均衡关系”,则意味着Y对其均衡点的偏离从本质上说是“临时性”的。 因此,一个重要的假设就
22、是:随机扰动项t必须是平稳序列。 显然,如果t有随机性趋势(上升或下降),则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累积下来而不能被消除。,式Yt=0+1Xt+t中的随机扰动项也被称为非均衡误差(disequilibrium error),它是变量X与Y的一个线性组合:,(*),因此,如果Yt=0+1Xt+t式所示的X与Y间的长期均衡关系正确的话,(*)式表述的非均衡误差应是一平稳时间序列,并且具有零期望值,即是具有0均值的I(0)序列。 从这里已看到,非稳定的时间序列,它们的线性组合也可能成为平稳的。 例如:假设Yt=0+1Xt+t式中的X与Y是I(1)序列,如果该式所表述的它们间的长期均衡关
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