工程力学10.ppt
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1、1,4.6 一点的应力和应变,4.7 变形体静力学分析,4.1 变形固体的力学分析方法,4.2 基本假设,4.3 内力、截面法,4.4 杆件的基本变形,4.5 杆的轴向拉伸和压缩,第四章 变形体静力学基础,返回主目录,4.8 应力集中的概念,2,前一章,将物体视为刚体,讨论其平衡。 事实上,总有变形发生,还可能破坏。 本章讨论的研究对象是变形体。 属于固体力学的范畴。不再接受刚体假设。,以变形体为研究对象的固体力学研究基本方法, 包括下述三个方面的研究: 1) 力和平衡条件的研究。 2) 变形几何协调条件的研究。 3) 力与变形之关系的研究。 先以一个例子说明方法。,第四章 变形体静力学基础,
2、4.1 变形固体的力学分析方法,3,例1 长2L的木板由二个弹性常数为k、自由长度为h的拉压弹簧支承。若有一人从板中央向一端缓慢行走,试求板与地面刚刚接触时,人所走过的距离x。,解:设人重为W,板重不计讨论板与地面刚接触 的临界状态,板受力如图。,1) 力的平衡条件: 由平衡方程有: Fy=FB-FA-W=0 MA(F)=2aFB-(x+a)W=0,二个平衡方程,三个未知量:x、FA、FB,不可解。需考虑变形。板可作刚体处理,只考虑弹簧的变形。,4,弹簧A、B的变形为 A=hA-h (受拉伸长) -(4) 及 B=h-hB (受压缩短) -(5),2) 变形几何协调条件: 刚性板保持为直板,
3、二弹簧变形后应满足的 几何条件是:,3) 力与变形间的物理关系: 对于弹簧,力与变形间的关系为: FA=kA -(6) 及 FB=kB -(7),hB/hA=(L-a)/(L+a) (x0) -(3),5,综合考虑平衡条件、 变形几何关系、物理关系 后,得到七个方程,可求 出FA、FB、A、B、hA、hB、x 等全部未知量。,将x代入平衡方程,即可求得FA、FB。,6,各有关参数的影响: 弹簧自由长度h越大、弹簧刚度k越大、人的体重W越小,可以走过的距离x越大。 x之值与a2成正比,与板长L成反比。,结果讨论与分析一:,正确性条件:x0 否则变形几何条件(3)不适用 hW/2k,特例: 当L=
4、(2hk/W-1)a 时,x=a,即在某特定板长下,人走到B处板即触地。,7,-(b),结果讨论与分析二:,xa时,A0,弹簧A变形如图,是伸长。,B0。弹簧B变形与假设一致,受压。且x ,B。,xa时,A0,弹簧A受压;FA指向与图中相反。,特例:x=a时,A=0,FA=0,人重由弹簧B承担。,研究性思维:问题和结果的物理意义、几何意义、正确性条件、各因素对结果的影响趋势等。,8,研究重点是变形体的内力、变形及力与变形之关系。,研究变形体力学问题的主线是:,力的平衡,返回主目录,9,固体力学的研究对象是可变形固体。变形与材料有关。为研究方便,采用下述假设:,4.2 基本假设,返回主目录,10
5、,3) 小变形假设,相对于其原有尺寸而言,变形 后尺寸改变的影响可以忽略不计。 在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算而不引入大的误差。,上述假设,建立了一个最简单的可变形固体的理想化模型。 随着研究的深入,再逐步放松上述假设的限制。 如在后续课程中逐步讨论各向异性问题,大变形问题,含缺陷或裂隙等不连续介质的问题等等。,返回主目录,11,物体内部某一部分与 相邻部分间的相互作用力。 必须截开物体,内力才能显示。,内力分布在截面上。向截面形心简化,内力一般可表示为六个,由平衡方程确定。,处于平衡状态的物体,其任一部分也必然处于平衡状态。,1.内力:,沿C截面将物体截开,A部分在 外力作用下能保持平
6、衡,是因为受 到B部分的约束。B限制了A部分物体在空间中相对于 B的任何运动(截面有三个反力、三个反力偶)。,4.3 内力、截面法,返回主目录,12,若外力在同一平面内,截面内力只有三个分量,即:,轴力 FN 作用于截面法向。 剪力 FS 作用于截面切向。 弯矩 M 使物体发生弯曲。,若外力在轴线上,内力只有轴力。,13,2. 截面法,无论以截面左端或右端为研究对象,都应得到相同的截面内力。因为,二部分上作用的内力互为作用力与反作用力。适当的符号规定可保证其一致性。,用假想截面将物体截开,揭示并由平衡方程确定截面上内力的方法。 截面法求解内力的步骤为:,求约束反力,注意:所讨论的是变形体,故在
7、截取研究对象之前,力和力偶都不可像讨论刚体时那样随意移动。,14,例2 求图中1、2、3截面内力。,解:1)求约束反力:由整体有 FBx=F/2;FAy=F;FAx=-F/2,截面2:FN2=FACcos45=F;FS2=FACsin45=F M2=FACcos45x=Fx,截面3:FN3=0;FS3=-FBx-FCD=F/2; M3=-FBx(a+y)-FCDy=F (y-a)/2,15,例3 作图示拉压杆的内力图。,2)求各截面内力(轴力)。 截面法、平衡方程,3)画内力图。,解:1)求约束反力。 FA=8+2-5=5 kN,16,例4 截面积为A的等直杆,单位体积重量为,求 杆在自重作用
8、下的内力。,解:考虑任一距O点为x的横截面 上的内力,受力如图。 重力为W=Ax, 由平衡方程得: FN=W=Ax,绘出轴力图,可见: B截面处内力F N(=AL)最大。,17,2. 柱截面 内力?,1. 截面1 内力?,3. 作内力图。,问 题 讨 论,返回主目录,18,杆件:某一方向尺寸远大于其它 方向尺寸的构件。 直杆:杆件的轴线为直线。,最一般情况:,截面内力有六个分量。,轴向拉压内力为轴力。如拉、撑、活塞杆、钢缆、柱。 扭转 内力为扭矩。如各种传动轴等。 (轴) 弯曲 内力为弯矩。如桥梁、房梁、地板等。(梁),基本变形,4.4 杆件的基本变形,返回主目录,19,得到最简单的物理关系-
9、Hooke定律: =E 注意:-关系与试件几何(L、A)无关。,先考查杆承受轴向拉伸时力与变形之关系。,A3A1=A2;L1L2=L3;,4.5 杆的轴向拉伸和压缩,返回主目录,20,是材料的一种应力应变关系模型, 称为线性弹性应力应变(物理)关系模型。,轴向拉压杆的应力、应变和变形L可表达为:,EA是抗拉刚度,反映材料抵抗拉压变形的能力。,=E,21,EA是抗拉刚度,反映材料抵抗拉压变形的能力。,FN、L、E、A改变,则须分段计算。,轴向拉压杆变形分析汇总:,求轴力FN?,22,2)求各段应力: AB=FNAB/A1 =40103N/(32010-6)m2 =125106Pa=125MPa
10、BC=FNBC/A2=40103/(80010-6) =50MPa; CD=FNCD/A2=48103/(80010-6)= 60MPa,解:1)求内力(轴力),,例4.7 杆AB段为钢制,横截面积A1=320mm2, BD段 为铜,A2=800mm2, E钢=210GPa;E铜=100GPa; l=400mm。求杆各段的应力、应变和总伸长量AD。,画轴力图。,23,4)杆的总伸长为: lAD=lAB+lBC+lCD=0.68mm,2)求各段应变: eAB=sAB/E钢=125/(210103) 0.610-3,3)求各段伸长: 注意: l=el=sl/E=FNl/AE lAB=eABlAB=
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