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1、,排列、组合的应用,育英高中数学组,1.对于无限制条件的排列组合问题,只有根据排列组合的定义,直接列出排列组合数。 注意: 分清 : 元素的个数 取出元素的个数 分类还是分步 2.判断是排列问题(与顺序有关)还是组合(与顺序无关)问题。,一、简单的排列组合应用问题,3.解决排列组合问题的基本思想是“化归”: 即: 建立排列组合模型 由排列组合数计算结果 实际问题的解,10名教师,其中男教师6名,女教师4名。从中选3名参加会议(或选派去3个学校) 问题:没有要求、至少(多)选一个男(女)教师、恰好一个女教师等,各有多少种选派 方法? 步骤: 按要求选人 (组合) 分配到3个学校 (排列 ),例如
2、:,直接法:原则:特殊元素优先取 特殊位置优先安排 间接法(排除法):原则:正难则反 注意:“都不是”“不都是”“至少”“至多”等词的含义,二、有限制条件排列组合问题,要从4名男生和2名女生中选派4人参加社区服务,要求至少有1名女生的选派方法种数是多少? 直接法:按选派女生(因为多女生人数有特殊要求)1名和2名分类 间接法:总数-都是男生的方法 -,例 题,捆绑法,相邻问题,N个元素排成一排,其中K个元素要相邻。 步骤:先把K个元素内部排列, 把这K个元素看成一个参加全排:,相邻问题-,捆绑法,不相邻问题 插空法,N个不同元素排成一排,其中K个元素互不相邻。 (k n-k+1) 步骤:先把其余
3、n-K个元素全排列,有 并形成n-k+1个空隙。 再把这k个元素按序插入 n-k+1个空隙中。 有 种 所以共有 种不同的排法,不相邻问题 插空法,例题 10个人排成一排,其中某3人互不相邻。 步骤:先把其余7个人全排列,有 种方法,并形成8个空隙。 再把这3个人按序插入8个空隙中,有 所以共有 种不同的排法,在排列问题中,某些元素的顺序是确定的(不一定相邻) n个元素排成一列,其中k个元素顺序确定。 方法: 1.等可能法:,三、部分元素顺序相同的排列问题,2.插空法: 法1:先将n个位置选n-k个位子排其余的n-k个元素, 有 种,留下k个空位。 再把那k个元素按它们确定的顺序插入剩下的k个
4、空位,只有一种方法。即共有 种。 法2: 先在n个位子中选k个给k个元素( 种方法) 剩下的n-k个位子给其余的n-k 个元素全排 共有 种。,实际上,上面三种方法的四个结果 = = =,相同元素的排列问题 隔板法,问题一: 将7个相同的球放入4个不同的盒子,不出现空盒的放入方法有多少个? 化归:7个球有6个空,分4组,需3个隔板,插入6个空位,一共有 =20种,四、相同元素的排列问题 隔板法,也可以理解为 不定方程 有多少个正整数解? Doc1.docx 一共有 种不同的放法,问题二: 将7个相同的球放入4个不同的盒子,可以出现空盒的放入方法有多少个? 相当于借4个球,共11个球放入4个不同
5、的盒子,不出现空盒的放入方法有多少个? 10个球有9个空,分4组,需3个隔板,插入9个空位,一共有 种方法 Doc2.docx 也可以理解为 不定方程 有多少个自然数解?(可以为0),例 题 将10个优秀名额分配到一班、二班、三班3个班级,若各班名额数不少于班级序号数,共有多少种不同的分配方案? 解析:先拿3个分配到二班1个,三班2个,剩下的7个名额再分配到3个班级,每个班至少分配1个,则共有 种不同的分配方案。Doc3.docx,有6本 的书,按下列要求,各有多少种不同的分法? (1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; (2)分为三份,每份2本; (3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本;,分组问题,不同,(1)分给甲、乙、丙三人,每人2本; 有 种。 (2)消序 ,有 种(平均分组问题) 可见(1)=(2) 即先平均分组,再分配给3的人,乘以 。,(3)分为三份,一份1本,一份2本,一份3本; 有 =60 种(不平均分组问题) (4)分给甲、乙、丙三人,一人1本,一人2本,一人3本; 把(3)分组的结果再分配给3个人 共有60 种。,引申:部分平均分组问题 有5本不同 的书,按下列要求,各有多少种不同的分法? 分成2本、2本、1本三份 有 种 如果要分配给3个人,则再乘以,亲,听懂了吗? 请再温习一遍哈 谢谢!,
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