2018中考数学专题突破导学练第12讲反比例函数试题20170731227.wps
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1、第 1212 讲反比例函数 【知识梳理】 1.反比例函数的概念 k y x 如果 (k 是常数,k0),那么 y 叫做 x 的反比例函数 2.反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线 3.反比例函数的性质 当 k0 时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y 随 x 的增大而 减小 当 k0 时,图象的两个分支分别在第二、四象限内,在各自的象限内,y 随 x 的增大而 增大 反比例函数图象关于直线 yx 或 y=x 对称,关于原点中心对称 4.k 的两种求法 k y x 若点(x0,y0)在双曲线 上,则 kx0y0 k 的几何意义: k 1 1 若双曲线 上任一点 A(x,
2、y),ABx 轴于 B,则 SAOB y OB AB | x | y | x 2 2 1 2 | k |. 5.正比例函数和反比例函数的交点问题 k 若正比例函数 yk1x(k10),反比例函数 x (k 0),则 y 2 2 当 k1k20 时,两函数图象无交点; k k 当 k1k20 时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 ( 2 , k k ),( k , k k ).由此 2 k 1 2 1 2 1 1 可知,正反比例函数的图象若有交点,两交点一定关于原点对称 6.对于双曲线上的点 A、B,有两种三角形的面积(SAOB)要会求(会表示),如图所示 1 【考点解析】 题型一 反比例函数的
3、概念及解析式的确定 例 1.1. 下列图象中是反比例函数 y=图象的是( ) 考点:反比例函数的图象 分析:利用反比例函数图象是双曲线进而判断得出即可 解答:解:反比例函数 y=图象的是 C 故选:C 点评:此题主要考查了反比例函数的图象,正确掌握反比例函数图象的形状是解题关键 题型二 反比例函数的图象与性质 例 2 2(5 分) (2017温州)如图,矩形 OABC 的边 OA,OC分别在 x 轴、y 轴上,点 B 在第一象限, 点 D 在边 BC 上,且AOD=30,四边形 OABD 与四边形 OABD关于直线 OD 对称(点 A和 A,B和 B 分别对应)若 AB=1,反比例函数 y=
4、(k0)的图象恰好经过点 A,B,则 k 的 值为 2 【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征;LB:矩形的性质 【分析】设 B(m,1),得到 OA=BC=m,根据轴对称的性质得到 OA=OA=m,AOD= AOD=30,求得AOA=60,过 A作 AEOA 于 E,解直角三角形得到 A( m, m), 列方程即可得到结论 【解答】解:四边形 ABCO是矩形,AB=1, 设 B(m,1), OA=BC=m, 四边形 OABD 与四边形 OABD关于直线 OD 对称, OA=OA=m,AOD=AOD=30, AOA=60, 过 A作 AEOA于 E, OE= m,AE= m, A( m,
5、m), 反比例函数 y= (k0)的图象恰好经过点 A,B, m m=m, m= , k= 3 故答案为: 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,矩形的性质,轴对称的性质,解直角三 角形,正确的作出辅助线是解题的关键 题型三 反比例函数的比例系数k k的几何意义 例 3 3(20172017湖南株洲) 如图所示,RtPAB 的直角顶点 P(3,4)在函数 y= (x0)的图象上,顶点 A、B 在函数 y= (x0,0tk)的图象上,PAx 轴,连接 OP,OA,记OPA 的面积为 SOPA,PAB的 面积为 SPAB,设 w=SOPASPAB 求 k 的值以及 w 关于 t 的表达式
6、; 若用 wmax 和 wmin 分别表示函数 w 的最大值和最小值,令 T=wmax+a2a,其中 a 为实数,求 Tmin 【考点】G5:反比例函数系数 k 的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】(1)由点 P 的坐标表示出点 A、点 B 的坐标,从而得 SPAB= PAPB= (4 )(3 ),再根据反比例系数 k 的几何意义知 SOPA=SOPCSOAC=6 t,由 w=SOPASPAB可得答 案; 4 (2)将(1)中所得解析式配方求得 wmax= ,代入 T=wmax+a2a 配方即可得出答案 【解答】解:(1)点 P(3,4), 在 y= 中,当 x=3 时,y
7、= ,即点 A(3, ), 当 y=4时,x= ,即点 B( ,4), 则 SPAB= PAPB= (4 )(3 ), 如图,延长 PA交 x 轴于点 C, 则 PCx 轴, 又 SOPA=SOPCSOAC= 34 t=6 t, w=6 t (4 )(3 )= t2+ t; (2)w= t2+ t= (t6)2+ , wmax= , 则 T=wmax+a2a=a2a+ =(a )2+ , 当 a= 时,Tmin= 题型四 一次函数和反比例函数的综合 例 4 4 如图,一次函数 y=kx+b的图象与坐标轴分别交于 A、B 两点,与反比例函数 y= 的图象在 第一象限的交点为 C,CDx 轴,垂足
8、为 D,若 OB=3,OD=6,AOB 的面积为 3 (1)求一次函数与反比例函数的解析式; (2)直接写出当 x0 时,kx+b 0 的解集 5 【分析】(1)根据三角形面积求出 OA,得出 A、B 的坐标,代入一次函数的解析式即可求出解 析式,把 x=6代入求出 D 的坐标,把 D 的坐标代入反比例函数的解析式求出即可; (2)根据图象即可得出答案 【解答】解:(1)SAOB=3,OB=3, OA=2, B(3,0),A(0,2), 代入 y=kx+b得: , 解得:k= ,b=2, 一次函数 y= x2, OD=6, D(6,0),CDx 轴, 当 x=6时,y= 62=2 C(6,2)
9、, n=62=12, 反比例函数的解析式是 y= ; (2)当 x0 时,kx+b 0 的解集是 0x6 【点评】本题考查了用待定系数法求出函数的解析式,一次函数和和反比例函数的交点问题, 函数的图象的应用,主要考查学生的观察图形的能力和计算能力 题型五 反比例函数的其他综合应用问题 例 6 6 如图,菱形 OABC 的一边 OA在 x 轴的负半轴上,O 是坐标原点,tanAOC= ,反比例函数 y= 的图象经过点 C,与 AB交于点 D,若COD的面积为 20,则 k 的值等于 24 6 【考点】G5:反比例函数系数 k 的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标特征;L8:菱形 的性质;T
10、7:解直角三角形 【分析】易证 S菱形 ABCO=2SCDO,再根据 tanAOC 的值即可求得菱形的边长,即可求得点 C 的 坐标,代入反比例函数即可解题 【解答】解:作 DEAO,CFAO,设 CF=4x, 四边形 OABC为菱形, ABCO,AOBC, DEAO, SADO=SDEO, 同理 SBCD=SCDE, S菱形 ABCO=SADO+SDEO+SBCD+SCDE, S菱形 ABCO=2(SDEO+SCDE)=2SCDO=40, tanAOC= , OF=3x, OC= =5x, OA=OC=5x, S菱形 ABCO=AOCF=20x2,解得:x= , OF= ,CF= , 点 C
11、 坐标为( , ), 反比例函数 y= 的图象经过点 C, 代入点 C 得:k=24, 7 故答案为24 【中考热点】 (20172017 湖南株洲) 如图所示是一块含 30,60,90的直角三角板,直角顶点 O 位于坐标原点,斜边 AB垂直 于 x 轴,顶点 A 在函数 y1= (x0)的图象上,顶点 B 在函数 y2= (x0)的图象上, ABO=30,则 = 【考点】G6:反比例函数图象上点的坐标特征 【分析】设 AC=a,则 OA=2a,OC= a,根据直角三角形 30角的性质和勾股定理分别计算点 A 和 B 的坐标,写出 A 和 B 两点的坐标,代入解析式求出 k1和 k2的值,相比
12、即可 【解答】解:如图,RtAOB 中,B=30,AOB=90, OAC=60, ABOC, ACO=90, AOC=30, 设 AC=a,则 OA=2a,OC= a, A( a,a), A 在函数 y1= (x0)的图象上, k1= aa= , RtBOC 中,OB=2OC=2 a, BC= =3a, B( a,3a), 8 B 在函数 y2= (x0)的图象上, k2=3a a=3 , = ; 故答案为: 【达标检测】 一选择题: 1. (2017黑龙江)如图,是反比例函数 y1= 和一次函数 y2=mx+n 的图象,若 y1y2,则相应 的 x 的取值范围是( ) A1x6 Bx1 Cx
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