2018中考数学专题突破导学练第11讲一次函数的应用试题20170731226.wps
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1、第 1111 讲 一次函数的应用 【知识梳理】 建模思想:解答一次函数的应用题时,应从给定的信息中抽象出一次函数关系,理清哪个是 自变量,哪个是自变量的函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值 范围 一次函数的最大(小)值:一次函数 ykxb(k0)自变量 x 的范围是全体实数,图象是直线, 因此没有最大值与最小值 实际问题中的一次函数:自变量的取值范围一般受到限制,其图象可能是线段或射线,根据 函数图象的性质,就存在最大值或最小值 常见类型:(1)求一次函数的解析式;(2)利用一次函数的图象与性质解决某些问题如最值 等 【考点解析】 题型一 利用一次函数进行方案选择 例
2、1.1. (20172017 宁夏)某商店分两次购进 A、B 两种商品进行销售,两次购进同一种商品的进价 相同,具体情况如下表所示: 购进数量(件) 购进所需费用(元) A B 第一次 30 40 3800 第二次 40 30 3200 (1)求 A、B 两种商品每件的进价分别是多少元? (2)商场决定 A 种商品以每件 30元出售,B 种商品以每件 100 元出售为满足市场需求,需 购进 A、B 两种商品共 1000 件,且 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍,请你求出获利 最大的进货方案,并确定最大利润 【分析】(1)设 A 种商品每件的进价为 x 元,B 种商品每件的进价为
3、 y 元,根据两次进货情况 表,可得出关于 x、y 的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设购进 B 种商品 m 件,获得的利润为 w 元,则购进 A 种商品(1000m)件,根据总利润 =单件利润购进数量,即可得出 w 与 m 之间的函数关系式,由 A 种商品的数量不少于 B 种商 品数量的 4 倍,即可得出关于 m 的一元一次不等式,解之即可得出 m 的取值范围,再根据一次 函数的性质即可解决最值问题 1 【解答】解:(1)设 A 种商品每件的进价为 x 元,B 种商品每件的进价为 y 元, 根据题意得: , 解得: 答:A 种商品每件的进价为 20 元,B 种商品每件的进价为 80
4、 元 (2)设购进 B 种商品 m 件,获得的利润为 w 元,则购进 A 种商品(1000m)件, 根据题意得:w=(3020)(1000m)+(10080)m=10m+10000 A 种商品的数量不少于 B 种商品数量的 4 倍, 1000m4m, 解得:m200 在 w=10m+10000 中,k=100, w 的值随 m 的增大而增大, 当 m=200时,w 取最大值,最大值为 10200+10000=12000, 当购进 A 种商品 800件、B 种商品 200 件时,销售利润最大,最大利润为 12000 元 【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式,
5、解题的 关键是:(1)找准等量关系,列出二元一次方程组;(2)根据数量关系,找出 w 与 m 之间的 函数关系式 题型二 利用一次函数解决分段函数问题 例 2.2. (20172017 重庆 B B)甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行,甲骑自行车从 A 地到 B 地, 乙驾车从 B 地到 A 地,他们分别以不同的速度匀速行驶,已知甲先出发 6 分钟后,乙才出发, 在整个过程中,甲、乙两人的距离 y(千米)与甲出发的时间 x(分)之间的关系如图所示, 当乙到达终点 A 时,甲还需 18 分钟到达终点 B 【分析】根据路程与时间的关系,可得甲乙的速度,根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速 度,可
6、得乙到达 A 站需要的时间,根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度,可得甲到达 B 站需要的时间,再根据有理数的减法,可得答案 【解答】解:由纵坐标看出甲先行驶了 1 千米,由横坐标看出甲行驶 1 千米用了 6 分钟, 2 甲的速度是 16= 千米/分钟, 由纵坐标看出 AB两地的距离是 16 千米, 设乙的速度是 x 千米/分钟,由题意,得 10x+16 =16m, 解得 x= 千米/分钟, 相遇后乙到达 A 站还需(16 ) =2 分钟, 相遇后甲到达 B 站还需(10 ) =20 分钟, 当乙到达终点 A 时,甲还需 202=18 分钟到达终点 B, 故答案为:18 【点评】本题考查了函
7、数图象,利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键 题型三 利用一次函数解决其他生活实际问题 例 3 3“”低碳环保,绿色出行 的理念得到广大群众的接受,越来越多的人再次选择自行车作为 出行工具,小军和爸爸同时从家骑自行车去图书馆,爸爸先以 150米/分的速度骑行一段时间, 休息了 5 分钟,再以 m 米/分的速度到达图书馆,小军始终以同一速度骑行,两人行驶的路程 y (米)与时间 x(分钟)的关系如图,请结合图象,解答下列问题: (1)a= 10 ,b= 15 ,m= 200 ; (2)若小军的速度是 120 米/分,求小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离; (3)在(2)的条件
8、下,爸爸自第二次出发至到达图书馆前,何时与小军相距 100米? (4)若小军的行驶速度是 v 米/分,且在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两地), 请直接写出 v 的取值范围 【考点】FH:一次函数的应用 3 【分析】(1)根据时间=路程速度,即可求出 a 值,结合休息的时间为 5 分钟,即可得出 b 值,再根据速度=路程时间,即可求出 m 的值; (2)根据数量关系找出线段 BC、OD所在直线的函数解析式,联立两函数解析式成方程组,通 过解方程组求出交点的坐标,再用 3000去减交点的纵坐标,即可得出结论; (3)根据(2)结论结合二者之间相距 100 米,即可得出关于 x 的含绝对
9、值符号的一元一次方 程,解之即可得出结论; (4)分别求出当 OD 过点 B、C 时,小军的速度,结合图形,利用数形结合即可得出结论 【解答】解:(1)1500150=10(分钟), 10+5=15(分钟), (22.515)=200(米/分) 故答案为:10;15;200 (2)线段 BC 所在直线的函数解析式为 y=1500+200(x15)=200x1500; 线段 OD所在的直线的函数解析式为 y=120x 联立两函数解析式成方程组, ,解得: , 30002250=750(米) 答:小军在途中与爸爸第二次相遇时,距图书馆的距离是 750米 (3)根据题意得:|200x1500120x
10、|=100, 解得:x1= =17.5,x2=20 答:爸爸自第二次出发至到达图书馆前,17.5 分钟时和 20分钟时与小军相距 100 米 (4)当线段 OD 过点 B 时,小军的速度为 150015=100(米/分钟); 当线段 OD过点 C 时,小军的速度为 300022.5= (米/分钟) 结合图形可知,当 100v 时,小军在途中与爸爸恰好相遇两次(不包括家、图书馆两 地) 4 题型四 一次函数的综合应用 例 4 4(2017江西)如图,直线 y=k1x(x0)与双曲线 y= (x0)相交于点 P(2,4)已 知点 A(4,0),B(0,3),连接 AB,将 RtAOB 沿 OP 方
11、向平移,使点 O 移动到点 P,得到 APB过点 A作 ACy 轴交双曲线于点 C (1)求 k1与 k2的值; (2)求直线 PC 的表达式; (3)直接写出线段 AB 扫过的面积 【考点】G8:反比例函数与一次函数的交点问题;FA:待定系数法求一次函数解析式;Q3:坐 标与图形变化平移 【分析】(1)把点 P(2,4)代入直线 y=k1x,把点 P(2,4)代入双曲线 y= ,可得 k1与 k2 的值; (2)根据平移的性质,求得 C(6, ),再运用待定系数法,即可得到直线 PC的表达式; (3)延长 AC 交 x 轴于 D,过 B作 BEy 轴于 E,根据AOBAPB,可得线段 AB扫
12、过的 5 面积=平行四边形 POBB的面积+平行四边形 AOPA的面积,据此可得线段 AB扫过的面积 【解答】解:(1)把点 P(2,4)代入直线 y=k1x,可得 4=2k1, k1=2, 把点 P(2,4)代入双曲线 y= ,可得 k2=24=8; (2)A(4,0),B(0,3), AO=4,BO=3, 如图,延长 AC交 x 轴于 D, 由平移可得,AP=AO=4, 又ACy 轴,P(2,4), 点 C 的横坐标为 2+4=6, 当 x=6时,y= = ,即 C(6, ), 设直线 PC的解析式为 y=kx+b, 把 P(2,4),C(6, )代入可得 ,解得 , 直线 PC的表达式为
13、 y= x+ ; (3)如图,延长 AC 交 x 轴于 D, 由平移可得,APAO, 又ACy 轴,P(2,4), 点 A的纵坐标为 4,即 AD=4, 如图,过 B作 BEy 轴于 E, PBy 轴,P(2,4), 点 B的横坐标为 2,即 BE=2, 又AOBAPB, 线段 AB扫过的面积=平行四边形 POBB的面积+平行四边形 AOPA的面积=BOBE+AOAD=3 2+44=22 6 【中考热点】 (2017 乌鲁木齐)一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地,一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地, 两车之间的距离 y(千米)与行驶时间 x(小时)的对应关系如图所示: (1)甲乙两地相距多远? (
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