2018中考数学专题突破导学练第24讲梯形试题20170731240.wps
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1、第 2424 讲 梯 形 【知识梳理】 1.梯形的定义: 一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫做梯形. 2.特殊梯形的分类:直角梯形和等腰梯形. (1)直角梯形的定义:有一个角是直角的梯形 (2)等腰梯形的定义:两腰相等的梯形. 3. 特殊梯形的性质与判定: (1)等腰梯形的性质:等腰梯形同一底边上的两个角相等;等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形判定定理:同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 4.梯形中常规辅助线的添加方式: 本章内容是对平面上四边形的分类及性质上的研究,要求学生在学习过程中多动手多动脑, 把自己的发现和知识带入做题中。因此教师在教学时可以多鼓励学生自己总结四边形的
2、特点, 这样有利于学生对知识的把握。 【考点解析】 考点一:梯形的有关计算 【例 1 1】如图所示,四边形 ABCD是梯形,ADBC,CA是BCD的平分线,且 ABAC,AB=4, AD=6,则 tanB=( ) 11 A2 3 B2 2 C D 4 5 5 4 思路分析:先判断 DA=DC,过点 D 作 DEAB,交 AC于点 F,交 BC于点 E,由等腰三角形的性 质,可得点 F 是 AC中点,继而可得 EF是CAB的中位线,继而得出 EF、DF的长度,在 RtADF 中求出 AF,然后得出 AC,tanB 的值即可计算 解:CA 是BCD 的平分线, 1 DCA=ACB, 又ADBC,
3、ACB=CAD, DAC=DCA, DA=DC, 如图,过点 D 作 DEAB,交 AC 于点 F,交 BC于点 E, ABAC, DEAC(等腰三角形三线合一的性质), 点 F 是 AC中点, AF=CF, EF 是CAB 的中位线, 1 EF= AB=2, 2 AF DF =1, FC EF EF=DF=2, 在 RtADF中,AF= AD2 DF2 4 2 , 则 AC=2AF=8 2 , AC 8 2 2 2 AB 4 tanB= 故选 B 点 评:本题考查了梯形的知识、等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理,解答本题的 关键是作出辅助线,判断点 F 是 AC中点,难度较大 考点二
4、、等腰梯形的性质 【例 2 2】如图,梯形 ABCD中,ADBC,ABDE,DEC=C,求证:梯形 ABCD是等腰梯形 2 思路分析:由 ABDE,DEC=C,易证得B=C,又由同一底上两个角相等的梯形是等腰梯 形,即可证得结论 证明:ABDE, DEC=B, DEC=C, B=C, 梯形 ABCD是等腰梯形 点 评:此题考查了等腰梯形的判定此题比较简单,注意掌握同一底上两个角相等的梯形是等 腰梯形定理的应用,注意数形结合思想的应用 考点三、梯形的判定 【例 4 4】如图,梯形 ABCD中,ADBC,点 M 是 AD 的中点,不添加辅助线,梯形满足 AB=DC (或 ABC=DCB 、 A=D
5、 )等 条件时,有 MB=MC(只填一个即可) 考点: 梯形;全等三角形的判定. 专题: 开放型 分析: 根据题意得出ABMDCM,进而得出 MB=MC 解答: 解:当 AB=DC 时,梯形 ABCD 中,ADBC, 则A=D, 点 M 是 AD的中点, AM=MD, 在ABM 和DCM 中, , 3 ABMDCM(SAS), MB=MC, 同理可得出:ABC=DCB、A=D 时都可以得出 MB=MC, 故答案为:AB=DC(或ABC=DCB、A=D)等 点评: 此题主要考查了梯形的性质以及全等三角形的判定与性质,得出ABMDCM 是解 题关键 【中考热点】 如图 1,在梯形 ABCD中,AB
6、CD,B=90,AB=2,CD=1,BC=m,P 为线段 BC上的一动点, 且和 B、C 不重合,连接 PA,过 P 作 PEPA交 CD 所在直线于 E设 BP=x,CE=y (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)若点 P 在线段 BC 上运动时,点 E 总在线段 CD上,求 m 的取值范围; (3)如图 2,若 m=4,将PEC沿 PE翻折至PEG位置,BAG=90,求 BP长 思路分析:(1)证明ABPPCE,利用比例线段关系求出 y 与 x 的函数关系式; (2)根据(1)中求出的 y 与 x 的关系式,利用二次函数性质,求出其最大值,列不等式确定 m 的取值范围; (3)根据翻
7、折的性质及已知条件,构造直角三角形,利用勾股定理求出 BP 的长度解答中提 供了三种解法,可认真体会 解:(1)APB+CPE=90,CEP+CPE=90, APB=CEP,又B=C=90, ABPPCE, AB BP 2 x ,即 , PC CE m x y 4 1 m y=- x2+ x 2 2 1 m 1 m m2 (2)y=- x2+ x=- (x- )2+ , 2 2 2 2 8 m m2 当 x= 时,y 取得最大值,最大值为 2 8 点 P 在线段 BC上运动时,点 E 总在线段 CD 上, m 2 1,解得 m2 2 8 m 的取值范围为:0m2 2 (3)由折叠可知,PG=P
8、C,EG=EC,GPE=CPE, 又GPE+APG=90,CPE+APB=90, APG=APB BAG=90,AGBC, GAP=APB, GAP=APG, AG=PG=PC 解法一:如解答图所示,分别延长 CE、AG,交于点 H, 则易知 ABCH为矩形,HE=CH-CE=2-y,GH=AH-AG=4-(4-x)=x, 在 RtGHE中,由勾股定理得:GH2+HE2=GH2, 即:x2+(2-y)2=y2,化简得:x2-4y+4=0 1 m 1 由(1)可知,y=- x2+ x,这里 m=4,y=- x2+2x, 2 2 2 2 代入式整理得:x2-8x+4=0,解得:x= 或 x=2,
9、3 5 2 BP 的长为 或 2 3 解法二:如解答图所示,连接 GC AGPC,AG=PC, 四边形 APCG为平行四边形,AP=CG 易证ABPGNC,CN=BP=x 过点 G 作 GNPC于点 N,则 GH=2,PN=PC-CN=4-2x 在 RtGPN中,由勾股定理得:PN2+GN2=PG2, 即:(4-2x)2+22=(4-x)2, 2 整理得:x2-8x+4=0,解得:x= 或 x=2, 3 2 BP 的长为 或 2 3 解法三:过点 A 作 AKPG于点 K, APB=APG, AK=AB 易证APBAPK, PK=BP=x, GK=PG-PK=4-2x 在 RtAGK中,由勾股
10、定理得:GK2+AK2=AG2, 即:(4-2x)2+22=(4-x)2, 整理得:x2-8x+4=0, 2 解得:x= 或 x=2, 3 2 BP 的长为 或 2 3 点 评:本题是代数几何综合题,考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折 叠、函数关系式、二次函数最值等知识点,所涉及考点众多,有一定的难度注意第(2)问 中求 m 取值范围时二次函数性质的应用,以及第(3)问中构造直角三角形的方法 【达标检测】 1. 如图,等腰梯形 ABCD 的对角线长为 13,点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD、DA的中点, 则四边形 EFGH的周长是( ) 6 A 13 B 26
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