2018版高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用学案新人教A版必修42017072411.wps
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1、1.61.6 三角函数模型的简单应用 1.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,并会用三角函数模型解决一些简单 的实际问题.(重点) 2.实际问题抽象为三角函数模型.(难点) 基础初探 教材整理 三角函数的实际应用 阅读教材 P60P64所有内容,完成下列问题. 1.三角函数可以作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型. 2.y|sin x|是以 为周期的波浪形曲线. 3.解三角函数应用题的基本步骤: (1)审清题意;(2)搜集整理数据,建立数学模型; (3)讨论变量关系,求解数学模型; (4)检验,作出结论. 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 s(厘米)和时间 t(秒
2、)的函数关系为 s 3sin( ,那么单摆来回摆的振幅为_厘米,一次所需的时间为_秒. t 3) 2 【解析】 因为 s3sin( , t 3) 2 2 所以振 幅为 A3(厘米),周期 T 4(秒). 2 【答案】 3 4 小组合作型 1 三角函数模型简单的实际应用 如图 161,某动物种群数量 1 月 1 日低至 700只,7 月 1 日高至 900 只,其总量 在此两值之间依正弦型曲线变化. 图 161 (1)求出种群数量 y 关于时间 t 的函数表达式(其中 t 以年初以来的月为计量单位); (2)估计当年 3 月 1 日动物种群数量. 【导学号:00680027】 【精彩点拨】 可设
3、 yAsin(x)b(A0,0)来求解. 【自主解答】 (1)设动物种群数量y关于t的解析式为yAsin(t)b(A0,0), 则Error! 解得 A100,b800. 又周期 T2(60)12, 2 , T 6 y100sin( t)800. 6 又当 t6 时,y900, 900100sin( 6)800, 6 sin()1, sin 1, 取 , 2 y100sin( t 2)800. 6 (2)当 t2 时,y100sin( 2 2)800750, 6 即当年 3 月 1 日动物种群数量约是 750只. 解三角函数应用问题的基本步骤 2 再练一题 5 1.已知某地一天从 416时的温
4、度变化曲线近似满足函数 y10sin( x 20,x 4 ) 8 4,16. (1)求该地这一段时间内温度的最大温差; (2)若有一种细菌在 15 到 25 之间可以生存,那么在这段时间内,该细菌最多能生存 多长时间? 【解】 (1)当 x14时函数取最大值,此时最高温度为 30 ,当 x6 时函数取最小值, 此时最低温度为 10 ,所以最大温差为 30 10 20 . 5 (2)令 10sin( 4 )2015, x 8 5 1 得 sin( , x 4 ) 8 2 26 而 x4,16,所以 x . 3 5 令 10sin( 4 )2025, x 8 5 1 得 sin( x 4 ) ,
5、8 2 34 而 x4,16,所以 x . 3 34 26 8 故该细菌能存活的最长时间为 小时. 3 3 3 三角函数模型在物理学中的应用 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时,小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s) 的变化规律为 s4sin(2t 3),t0, ).用“五点法”作出这个函数的简图,并回答下 列问题. (1)小球在开始振动(t0)时的位移是多少? 3 (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少? (3)经过多长时间小球往复振动一次? 【精彩点拨】 确定函数 yAsin(x)中的参数 A, 的物理意义是解题关键. 【自主解答】 列表如下: t 6 12 3 7
6、12 5 6 2t 3 0 2 3 2 2 sin(2t 3) 0 1 0 1 0 s 0 4 0 4 0 描点、连线,图象如图所示. (1)将 t0 代入 s4sin(2t 3),得 s4sin 2 ,所以小球开始振动时的位移是 2 3 3 3 cm. (2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是 4 cm 和4 cm. (3)因为振动的周期是 ,所以小球往复振动一次所用的时间是 s. 在物理学中,物体做简谐运动时可用正弦型函数 yAsinx表示物体振动的位移 y 2 随时间 x的变化规律,A为振幅,表示物体离开平衡位置的最大距离,T 为周期,表示物 1 体往复振动一次所需的时间,f
7、为频率,表示物体在单位时间内往复振动的次数. T 再练一题 2.弹簧挂着的小球做上下振动,它在 t s 时相对于平衡位置(就是静止时的位置)的高度 h cm由函数关系式 h3sin(2t 4)确定. (1)以 t为横坐标,h为纵坐标,作出函数的图象(0t); (2)求小球开始振动(即 t0)时的位移; (3)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位移; (4)经过多少时间小球往复振动一次? 4 (5)每秒钟小球能往复振动多少次? 【解】 (1)函数 h3sin(2t 4),0t 的图象如图所示. 3 2 3 2 (2)令 t0,得 h ,所以小球开始振动时的位移为 cm. 2 2 5 (3
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