2018版高中数学第三章三角恒等变换3.1.3二倍角的正弦余弦正切公式学案新人教A版必修420170.wps
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1、3.1.33.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.(难点) 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用.(易错点) 基础初探 教材整理 二倍角的正弦、余弦、正切公式 阅读教材 P132P133例 5 以上内容,完成下列问题. 1.二倍角的正弦、余弦、正切公式 记法 公式 S2 sin 22sin cos C2 cos 2cos2 sin2 2tan T2 tan 2 1tan2 2.余弦的二倍角公式的变形 3.正弦的二倍角公式的变形 1 sin 2 (1)si
2、n cos sin 2,cos . 2 2sin (2)1sin 2(sin cos )2. 1.判断(“正确的打”“,错误的打 ”) (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.( ) (2)存在角 ,使得 sin 22sin 成立.( ) (3)对于任意的角 ,cos 22cos 都不成立.( ) 【解析】 (1).二倍角的正弦、余弦公式对任意角都是适用的,而二倍角的正切公式, 要求 k(kZ Z)且 k(kZ Z),故此说法错误. 2 4 1 (2).当 k(kZ Z)时,sin 22sin . 1 3 (3).当 cos 时,cos 22cos . 2 【答案】 (1) (2
3、) (3) 1 2.已知 cos ,则 cos 2 等于_. 3 1 1 7 【解析】 由 cos ,得 cos 22cos212 3 )21 . 3 ( 9 7 【答案】 9 小组合作型 利用二倍角公式化简三角函数式 化简求值. (1)cos4 sin4 ; 2 2 (2)sin cos cos ; 24 24 12 (3)12sin2 750; 13tan2 150 (4)tan 150 . 2tan 150 【精彩点拨】 灵活运用倍角公式转化为特殊角或产生相消项,然后求得. 【自主解答】 (1)cos4 sin4 2 2 (cos 2 sin2 2 2)(cos 2 sin2 2 2)
4、cos . 1 (2)原式2(2sin cos 24)cos 24 12 1 1 sin cos cos 4(2sin 2 12 12 12 12) 1 1 sin . 4 6 8 1 原式 . 8 (3)原式cos(2750)cos 1 500 2 1 cos(436060)cos 60 . 2 1 原式 . 2 2tan215013tan2 150 (4)原式 2tan 150 1tan2 150 1 2tan 150 tan2 150 1 1 tan 300 tan36060 1 3 . tan 60 3 3 原式 . 3 二倍角公式的灵活运用: (1)公式的逆用:逆用公式,这种在原有基
5、础上的变通是创新意识的体现.主要形式有: 1 2sin cos sin 2,sin cos sin 2, 2 sin 2 2tan cos ,cos2 sin2 cos 2, tan 2. 2sin 1tan2 (2)公式的变形:公式间有着密切的联系,这就要求思考时要融会贯通,有目的地活用公 式.主要形式有: 1sin 2sin2 cos2 2sin cos (sin cos )2,1cos 2 1cos 2 1cos 2 2cos2 ,cos2 ,sin2 . 2 2 再练一题 1.求下列各式的值: (1)sin cos ; 12 12 2tan 150 (2) ; 1tan2150 1 3
6、 (3) ; sin 10 cos 10 (4)cos 20cos 40cos 80. 2sin cos sin 12 12 6 1 【解】 (1)原式 . 2 2 4 3 (2)原式tan(2150)tan 300tan(36060) tan 60 3. cos 10 3sin 10 (3)原式 sin 10cos 10 1 2 2( cos 10 3 sin 10) 2 sin 10cos 10 4sin 30cos 10cos 30sin 10 2sin 10cos 10 4sin 20 4. sin 20 2sin 20cos 20cos 40cos 80 (4)原式 2sin 20
7、2sin 40cos 40cos 80 4sin 20 2sin 80cos 80 sin 160 1 . 8sin 20 8sin 20 8 利用二倍角公式解决求值问题 (1)已知 sin 3cos ,那么 tan 2 的值为( ) A.2 B.2 3 3 C. D. 4 4 1 2 (2)已知 sin( )3,则 cos( 2)的值等于( ) 6 3 7 1 A. B. 9 3 7 1 C. D. 9 3 3 2 (3)已知 cos ,sin 3, 是第三象限角,( ,). 4 2 求 sin 2 的值;求 cos(2)的值. 【精彩点拨】 (1)可先求 tan ,再求 tan 2; 2
8、(2)可利用 22 )及 )求值; 3 ( 2 ( 3 3 6 (3)可先求 sin 2,cos 2,cos ,再利用两角和的余弦公式求 cos(2). 【自主解答】 (1)因为 sin 3cos , 所以 tan 3, 2tan 2 3 3 所以 tan 2 . 1tan2 132 4 4 (2)因为 cos( )sin ( ) 3 2 3 1 sin( ) , 6 3 2 所以 cos( 2)2cos2( )1 3 3 1 7 2(3 )21 . 9 【答案】 (1)D (2)C 3 (3) 因为 是第三象限角,cos , 4 7 所以 sin 1cos2 , 4 7 3 3 7 所以 s
9、in 22sin cos 2( 4 )(4 ) . 8 2 因为 ( ,),sin , 2 3 5 所以 cos 1sin2 , 3 9 1 cos 22cos2 12 1 , 16 8 1 5 3 7 2 56 7 所以 cos(2)cos 2cos sin 2sin 8( 3 ) . 8 3 24 直接应用二倍角公式求值的三种类型 同角三角函数的关系 二倍角公式 (1)sin (或 cos ) cos (或 sin ) sin 2(或 cos 2). 二倍角公式 (2)sin (或 cos ) cos 212sin2 (或 2cos2 1). 同角三角函数的关系 (3)sin (或 cos
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