2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆方程及性质的应用学案新.wps
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1、2.1.22.1.2 第 2 2 课时 椭圆方程及性质的应用 1.掌握直线与椭圆的位置关系.(重点) 2.通过一元二次方程根与系数关系的应用,解决有关椭圆的简单综合问题.(重点) 3.能利用椭圆的有关性质解决实际问题.(难点) 基础初探 教材整理 1 点与椭圆的位置关系 x2 y2 设点 P(x0,y0),椭圆 1(ab0). a2 b2 x20 y20 (1)点 P在椭圆上 1; a2 b2 x20 y20 (2)点 P在椭圆内 1; a2 b2 x20 y20 (3)点 P在椭圆外 1. a2 b2 x2 y2 已知点(2,3)在椭圆 1 上,则下列说法正确的是_ m2 n2 点(2,3)
2、在椭圆外 点(3,2)在椭圆上 点(2,3)在椭圆内 点(2,3)在椭圆上 【解析】 由椭圆的对称性知点(2,3)也在椭圆上. 【答案】 教材整理 2 直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系及判定 x2 y2 直线 ykxm与椭圆 1(ab0)联立Error!消去 y得一个一元二次方程. a2 b2 位置关系 解的个数 的取值 相交 两解 0 相切 一解 0 相离 无解 0 2.弦长公式 1 设直线 ykxb与椭圆的交点坐标分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB| 1k2|x1x2| 1 1 |y1y2|. k2 判断(“正确的打”“,错误的打 ”) x2 y2 (1)点
3、 P(2,1)在椭圆 1 的内部.( ) 4 9 (2)过椭圆外一点一定能作两条直线与已知椭圆相切.( ) y2 (3)过点 A(0,1)的直线一定与椭圆 x2 1 相交.( ) 2 (4)长轴是椭圆中最长的弦.( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 小组合作型 直线与椭圆的位置关系 x2 (1)若直线 mxny4 和O:x2y24 没有交点,则过点 P(m,n)的直线与椭圆 9 y2 1 的交点个数为( ) 4 A.2 个 B.至多一个 C.1 个 D.0 个 (2)已知椭圆 4x2y21 及直线 yxm,问 m为何值时,直线与椭圆相切、相交? 【精彩点拨】 利用几何法判断直线与椭
4、圆的位置关系. 4 【自主解答】 (1)若直线与圆没有交点,则 d 2, m2n2 m2n2 m2 n2 m2n24,即 1. 1,点(m,n)在椭圆的内部,故直线与椭圆有 2 个 4 9 4 交点. 【答案】 A (2)将 yxm代入 4x2y21, 消去 y整理得 5x22mxm210. 4m220(m21)2016m2. 5 当 0 时,得 m ,直线与椭圆相切. 2 2 5 5 当 0 时,得 m ,直线与椭圆相交. 2 2 1.直线与椭圆的位置关系是通过代数法完成的, 的符号决定了交点的个数,从而确定了 其位置关系. 2.有关直线与椭圆的位置关系存在两类问题,一是判断位置关系,二是依
5、据位置关系确定 参数的范围,两类问题在解决方法上是一致的,都要将直线与椭圆方程联立,利用判别式及根 与系数的关系进行求解. 再练一题 1.已知椭圆的方程为 x22y22. (1)判断直线 yx 3 与椭圆的位置关系; (2)判断直线 yx2 与椭圆的位置关系; (3)在椭圆上找一点 P,使 P到直线 yx2 的距离最小,并求出这个最小距离. 【解】 (1)由Error!得 3x24 3x40, (4 3)24340, 直线 yx 3与椭圆相切. (2)由Error!得 3x28x60. 6443680, 直线 yx2 与椭圆相离. (3)由(1)、(2)知直线 yx 3与椭圆的切点 P 满足条
6、件,由(1)得 P 的坐标为 2 3 3 ( , 3 3) , |2 3| 6 最小距离 d 2 . 2 2 直线与椭圆的相交弦问题 x2 y2 已知椭圆 1 和点 P(4,2),直线 l经过点 P且与椭圆交于 A、B两点. 36 9 1 (1)当直线 l的斜率为 时,求线段 AB的长度; 2 (2)当 P点恰好为线段 AB的中点时,求 l的方程. 【导学号:97792018】 3 【精彩点拨】 (1)设直线方程联立方程组利用弦长公式求解; (2)考查椭圆的中点弦问题及“点差法”的运用. 1 【自主 解答】 (1)由已知可得直线 l 的方程为 y2 (x4), 2 1 即 y x. 2 由Er
7、ror! 可得 x2180,若设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1x20,x1x218. 于是|AB| x1x22y1y22 1 x1x22 x1x22 4 5 5 x1x224x1x2 6 23 10. 2 2 所以线段 AB 的长度为 3 10. (2)法一:设 l 的斜率为 k, 则其方程为 y2k(x4). 联立Error! 消去 y 得(14k2)x2(32k216k)x(64k264k20)0. 32k216k 若设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2 , 14k2 由于 AB 的中点恰好为 P(4,2), x1x2 16k28k 所以 4, 2 14k
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