2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程章末分层突破学案新人教A版选修1_1201707192100.wps
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1、第二章 圆锥曲线与方程 自我校对 y2 x2 1(ab0) a2 b2 (0,1) 0,b0) a2 b2 (1, ) 1 圆锥曲线的定义与性质 对于圆锥曲线的有关问题,要有运用圆锥曲线定义解题的意识,“回归定义”是一种重要 的解题策略,如:(1)在求轨迹时,若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义,则根据圆锥曲线的 方程,写出所求的轨迹方程;(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题时, 常用定义结合解三角形的知识来解决;(3)在求有关抛物线的最值问题时,常利用定义把到焦 点的距离转化为到准线的距离,结合几何图形,利用几何意义去解决.总之,圆锥曲线的定义、 性质在解题中有重要作用,要注意
2、灵活运用. x2 y2 (1)F1,F2是椭圆 1(ab0)的两焦点,P是椭圆上任一点,从任一焦点引 a2 b2 F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为 Q,则点 Q的轨迹为( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 x2 y2 (2)椭圆 1(a为定值,且 a 5)的左焦点为 F,直 线 xm与椭圆相交于点 A、B,FAB a2 5 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是_. 【规范解答】 (1)延长垂线 F1Q交 F2P的延长线于点 A,如图所示,则APF1是等腰三角形,|PF1| |AP|,从而|AF2|AP|PF2|PF1|PF2|2a.由题意知 O是 F1F2 1 的中点,
3、Q是 AF1 的中点,连接 OQ,则|OQ| |AF2|a. 2 Q点的轨迹是以原点 O为圆心,半径为 a的圆.故选 A. 2 (2)设椭圆的另一个焦点为 F则,FAB 的周长|FA|AB|FB|FA|FA|FB| a25 2 |FB|4a,所以 4a12,a3,e . a 3 2 【答案】 (1)A (2) 3 1.圆锥曲线的定义是推导标准方程和几何性质的基础,也是解题的重要工具,灵活运用定 义,可避免很多复杂的计算,提高解题效率,因此在解决圆锥曲线的有关问题时,要有运用圆 “”锥曲线定义解题的意识, 回归定义 是一种重要的解题策略. 2.应用圆锥曲线的性质时,要注意与数形结合、方程等思想结
4、合运用. 再练一题 x2 y2 1.(1)已知双曲线 1,直线 l 过其左焦点 F1,交双曲线左支于 A,B 两点,且|AB| m 7 4,F2为双曲线的右焦点,ABF2的周长为 20,则 m 的值为( ) A.8 B.9 C.16 D.20 (2)如图 21 所示,动圆 P 与定圆 C:(x1)2y21 外切且与 y 轴相切,则圆心 P 的轨迹 为_. 【导学号:97792032】 图 21 【解析】 (1)由双曲线的定义可知, |AF2|AF1|2 m,|BF2|BF1|2 m, 所以(|AF2|BF2|)(|AF1|BF1|)4 m, |AF2|BF2|AB|4 m, |AF2|BF2|
5、44 m. 又|AF2|BF2|AB|20, 即 44 m420,所以 m9.故选 B. 3 (2)设 P(x,y),动圆 P的半径为 r. 两圆外切,PCr1. 又圆 P与 y轴相切,r|x|(x0), 即 x12y2|x|1, 整理得 y22(|x|x). 当 x0 时,得 y24x;当 x0 时,得 y0. 点 P的轨迹方程是 y24x(x0)或 y0(x0),表示一条抛物线(除去顶点)或 x轴的 负半轴. 【答案】 (1)B (2)一条抛物线(除去顶点)或 x轴的负半轴 直线与圆锥曲线的位置关系 直线与圆锥曲线一般有三种位置关系:相交、相切和相离. 把直线方程与圆锥曲线方程联立成方程组
6、,消去一个变量后,转化为一元二次方程 ax2bx c0.当 a0 时,若 0,直线与圆锥曲线相交,有两个不同的公共点;若 0,直线与 圆锥曲线相切,有一个公共点;若 b0)的离心率 e ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a2 b2 2 积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l与椭圆相交于不同的两点 A,B,已知点 A的坐标为(a,0). 4 2 若|AB| ,求直线 l的倾斜角; 5 若点 Q(0,y0)在线段 AB的垂直平分线上,且QAQ B4,求 y0的值. 【精彩点拨】 (1)建立关于 a,b的方程组求出 a,b;(2)构造新方程,综合运用两点间 的距离公式、平面向量等知识求
7、解. c 3 【规范解答】 (1)由 e ,得 3a24c2. a 2 由 c2a2b2,得 a2b. 1 由题意,知 2a2b4,即 ab2. 2 解方程组Error!得Error! x2 所以椭 圆的方程为 y21. 4 (2)由(1)知,点 A的坐标是(2,0),设点 B的坐标为(x1,y1),直线 l的斜率为 k,则直 4 线 l的方程为 yk(x2). 于是 A,B两点的坐标满足方程组Error! 消去 y并整理,得(14k2)x216k2x(16k24)0. 16k24 28k2 4k 由2x1 ,得 x1 ,从而 y1 . 14k2 14k2 14k2 28k2 4k 4 1k2
8、 所以|AB| (2 . 14k2)2(014k2)2 14k2 4 2 4 1k2 4 2 由|AB| ,得 . 5 14k2 5 整理,得 32k49k2230,即(k21)(32k223)0, 解得 k1. 3 所以直线 l的倾斜角为 或 . 4 4 设线段 AB的中点为 M, 8k2 2k 则点 M的坐标为( . ,14k2) 14k2 以下分两种情况: a.当 k0 时,点 B的坐标是(2,0),线段 AB的垂直平分线为 y轴,于是QA(2,y0), Q B(2,y0). 由QAQ B4,得 y02 . 2 b.当 k0 时,线段 AB的垂直平分线方程为 2k 1 8k2 y k(x
9、14k2). 14k2 6k 令 x0,解得 y0 . 14k2 Q A(2,y0), Q B(x1,y1y0), Q AQ B2x1y0(y1y0) 16k24 6k 4k 6k 14k2( 14k2) 14k2 14k2 416k415k21 4, 14k22 14 整理,得 7k22,故 k . 7 2 14 所以 y0 . 5 5 2 14 综上,y02 2或 y0 . 5 直线与圆锥曲线的位置关系问题是高考的热点,解题时要注意掌握一些基本的解题规律和 技巧,如在研究直线与圆锥曲线的公共点个数问题时,不要仅由判别式 来进行判断,还要 注意二次项系数是否为 0;涉及弦长问题时,利用弦长公
10、式及根与系数的关系求解,而对于焦 点弦问题,则结合圆锥曲线的定义求解;解决有关中点弦问题时常常运用“”点差法 使运算过 程得以简化. 再练一题 x2 y2 6 2.已知椭圆 G: 1(ab0)的离心率为 ,右焦点为(2 2,0).斜率为 1 的直线 l a2 b2 3 与椭圆 G 交于 A,B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(3,2). (1)求椭圆 G 的方程; (2)求PAB 的面积. 【导学号:97792033】 c 6 【解】 (1)由已知得,c2 2, . a 3 解得 a2 3. 又 b2a2c24, x2 y2 所以椭圆 G 的方程为 1. 12 4 (2)设直线
11、 l 的方程为 yxm, 由Error!得 4x26mx3m2120. 设 A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1x2),AB 中点为 E(x0,y0),则 x1x2 3m m x0 ,y0x0m , 2 4 4 因为 AB 是等腰PAB 的底边, 所以 PEAB. m 2 4 所以 PE 的斜率 k 1,解得 m2, 3m 3 4 此时方程为 4x212x0. 解得 x13,x20. 所以 y11,y22. 6 所以|AB|3 2. |322| 3 2 此时,点 P(3,2)到直线 AB:xy20 的距离 d , 2 2 1 9 所以PAB的面积 S |AB|d . 2 2
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