2018版高中数学第二章统计2.2.2用样本的数字特征估计总体的数字特征学案新人教B版必修32017.wps
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1、2.2.22.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.会求样本的平均数、标准差、方差.(重点) 2.理解用样本的数字特征估计总体的数字特征的方法.(重点) 3.会应用相关知识解决实际统计问题.(难点) 基础初探 教材整理 1 样本的平均数 阅读教材 P65P66,完成下列问题. 1.定义:样本中所有个体的平均数叫做样本平均数. 2.特点:平均数描述了数据的平均水平,定量地反映了数据的集中趋势所处的水平.用样 本的平均数估计总体的平均数时,样本平均数只是总体平均数的近似. x 1 x 2 x n 3.作 用:n 个样本数据 x1,x2,xn 的平均数x ,则有 nxx1 x2 n xn,
2、也就是把每个 xi(i1,2,n)都用x 代替后,数据总和保持不变.所以平均数x对数据 有“取齐”的作用,代表了一组数据的数值平均水平. 一组观察值 4,3,5,6出现的次数分别为 3,2,4,2,则样本平均值约为( ) A.4.55 B.4.5 C.12.5 D.1.64 4 33 25 46 2 【解析】 x 4.55. 3242 【答案】 A 教材整理 2 样本的方差和标准差 阅读教材 P66“最后一段”至 P68,完成下列问题. 1.数据的离散程度可以用极差、方差或标准差来描述.样本方差描述了一组数据围绕平均 数波动的大小.一般地,设样本的元素为 x1,x2,xn,样本的平均数为x,定
3、义 x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 s2 . n s2表示样本方差. 1 2.为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度,通常要求出样本方差的算术平方根 x 1 x 2 x 2 x 2 x n x 2 s . n s 表示样本标准差. 某学员在一次射击测试中射靶 10次,命中环数如下: 7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 则:(1)平均命中环数为_; (2)命中环数的标准差为_. 78795491074 【解 析】 (1)x 7. 10 1 (2)s2 (77)2(87)2(77)2(97)2(57)2(47)2(97)2(10 10 7)2(77)2(47)24,s2.
4、【答案】 (1)7 (2)2 小组合作型 平均数的求法 甲、乙两人在 10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图 2220 所示,中间 一列的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数,则这 10天甲、乙两 人日加工零件的平均数分别为_和_. 甲 乙 9 8 1 1 7 9 3 2 1 0 0 2 1 2 4 4 5 1 1 3 0 0 2 图 2220 【精彩点拨】 由茎叶图分别提取出甲、乙 10天中每天加工零件的个数,然后求平均数. 【尝试解答】 甲每天加工零件的个数分别为:18,19,20,20,21,22, 23,31,31,35,所求 1 平均数为x甲 (1819202
5、0212223313135)24. 10 乙每天加工零件的个数分别为:11,17,19,21,22,24,24,30,30,32,所求平均数为: 1 x乙 (11171921222424303032)23. 10 2 【答案】 24 23 茎叶图与平均数相结合的问题,关键是识别茎叶图的意义.在一般情况下,要计算一组数 据的平均数可使用平均数计算公式;当数据较大,且大部分数据在某一常数 a左右波动时,可 各个数据减去建立一组新的数据各个数据减去 a,再利用平均数简化公式计算,应用此法可减少运算量. 再练一题 1.某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动),该校合唱 团共
6、有 100名学生,他们参加活动的次数统计如图 2221 所示.求合唱团学生参加活动的人均 次数. 图 2221 10 150 240 3 【解】 由图可知,该合唱团学生参加的人均次数为 2.3. 100 方差和标准差 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm的零件,为检验质量,从中抽取 6 件测量数据为: 甲:99 100 98 100 100 103 乙:99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差; (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定. 【精彩点拨】 1 【尝试解答】 (1)x甲 9910098100100103100, 6 1 x乙 991
7、0010299100100100, 6 1 s 甲2 (99100)2(100100)2(98100)2(100100)2(100100)2(103 6 3 7 100)2 , 3 1 s 乙2 (99100)2(100100)2(102100)2(99100)2(100100)2(100 6 100)21. (2)由(1)知x甲x乙,比较它们的方差,s 甲2s乙2,故乙机床加工零件的质量更稳定. 1.在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究其偏离平均值的离散程度(即 方差或标准差),方差大说明取值分散性大,方差小说明取值分散性小或者取值集中、稳定. 2.关于统计的有关性质及规律:
8、(1)若 x1,x2,xn的平均数为x,那么 mx1a,mx2a,mxna的平均数是 mxa; (2)数据 x1,x2,xn与数据 x1a,x2a,xna的方差相等; (3)若 x1,x2,xn的方差为 s2,那么 ax1,ax2,axn的方差为 a2s2. 再练一题 2.某校高二年级在一次数学选拔赛中,由于甲、乙两人的竞赛成绩相同,从而决定根据平 时在相同条件下进行的六次测试确定出最佳人选,这六次测试的成绩数据如下: 甲 127 138 130 137 135 131 乙 133 129 138 134 128 136 求两人比赛成绩的平均数以及方差,并且分析成绩的稳定性,从中选出一位参加数
9、学竞赛. 【解】 设甲、乙两人成绩的平均数分别为x甲,x乙, 1 则x甲130 (380751)133, 6 1 x乙130 (318426)133, 6 1 47 s 甲2 (6)252(3)24222(2)2 , 6 3 1 38 s 乙2 02(4)25212(5)232 . 6 3 因此,甲与乙的平均数相同,由于乙的方差较小,所以乙的成绩比甲的成绩稳定,应该选 乙参加竞赛比较合适. 频率分布直方图与数字特征的综合应用 已知一组数据: 125 121 123 125 127 129 125 128 130 129 126 124 125 127 126 122 124 125 126 1
10、28 4 (1)填写下面的频率分布表: 分组 频数累计 频数 频率 120.5,122.5) 122.5,124.5) 124.5,126.5) 126.5,128.5) 128.5,130.5 合计 (2)作出频率分布直方图; (3)根据频率分布直方图或频率分布表求这组数据的众数、中位数和平均数. 【精彩点拨】 将数据分组后依次填写分布表.然后画出直方图,最后根据数字特征在直 方图中的求法求解. 【尝试解答】 (1) 分组 频数累计 频数 频率 120.5,122.5) 2 0.1 122.5,124.5) 3 0.15 124.5,126.5) 8 0.4 126.5,128.5) 4 0
11、.2 128.5,130.5 3 0.15 合计 20 1 (2) (3)在124.5,126.5)中的数据最多,取这个区间的中点值作为众数的近似值,得众数为 5 125.5,事实上,众数的精确值为 125.图中虚线对应的数据是 124.52 125.75,事实上 8 中位数为 125.5.使用“组中值”求平均数: x121.50.1123.50.15125.50.4 127.50.2129.50.15125.8,事实上平均数的精确值为 x125.75. 5 1.利用频率分布直方图求数字特征: (1)众数是最高的矩形的底边的中点; (2)中位数左右两侧直方图的面积相等; (3)平均数等于每个小
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