2018版高中数学第二章统计2.3变量的相关性学案新人教B版必修3201707182105.wps
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1、2.32.3 变量的相关性 1.理解两个变量的相关关系的概念.(重点) 2.会作散点图,并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.(重点) 3.能根据给出的线性回归方程系数公式求回归直线方程.(重点) 4.对最小二乘法原理的理解及应用.(难点) 基础初探 教材整理 1 变量间的相关关系 阅读教材 P73,完成下列问题. 1.两个变量的关系 分类 函数关系 相关关系 两变量关系 两变量关系 特征 确定 带有随机性 2.散点图 将样本中 n个数据点(xi,yi)(i1,2,n)描在平面直角坐标系中得到的图形. 3.正相关与负相关 (1)正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变
2、大,这种相关称为 正相关. (2)负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为负 相关. 如图 231 所示的两个变量不具有相关关系的有_. 图 231 【解析】 是确定的函数关系;中的点大都分布在一条曲线周围;中的点大都分布 1 在一条直线周围;中点的分布没有任何规律可言,x,y不具有相关关系. 【答案】 教材整理 2 两个变量的线性相关 阅读教材 P74P76,完成下列问题. 1.最小二乘法 设 x、Y的一组观察值为(xi,yi),i1,2,n,且回归直线方程为 y abx.当 x取 值 xi(i1,2,n)时,Y的观察值为 yi,差 yi yi(i1,2,n)
3、刻画了实际观察值 yi n 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常是用离差的平方和,即 Q (yiabxi)2 i1 作为总离差,并使之达到最小.这样,回归直线就是所有直线中 Q取最小值的那一条.由于平方 “又叫二乘方,所以这种使 离差平方和最小”的方法,叫做最小二乘法. 2.回归直线方程的系数计算公式 回归直线方程 回归系数 系数 a 的计算公式 方程或 公式 y a bx n i1xiyinx y b n i1x2inx2 a y bx 上方加 “记号 ” 的意义 区分 y的估计值 y 与实际值 y a、b“上方加 ”表示由观察值按最小二乘法求 得的估计值 1.判断(“正确的打”“,
4、错误的打 ”) (1)回归直线方程中,由 x的值得出的 y值是准确值.( ) (2)回归直线方程一定过样本点的中心.( ) (3)回归直线方程一定过样本中的某一个点.( ) (4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方 程.( ) 【答案】 (1) (2) (3) (4) 2.过(3,10),(7,20),(11,24)三点的回归直线方程是( ) A. y1.755.75x B. y1.755.75x C. y5.751.75x D. y5.751.75x 【解析】 求过三点的回归直线方程,目的在于训练求解回归系数的方法,这样既可以训 练计算,又可以体会解题思
5、路,关键是能套用公式.代入系数公式得 b1.75, a5.75.代入 2 直线方程,求得 y5.751.75x.故选 C. 【答案】 C 小组合作型 相关关系的判断 (1)下列两个变量之间的关系,哪个不是函数关系( ) A.正方体的棱长和体积 B.圆半径和圆的面积 C.正 n边形的边数和内角度数之和 D.人的年龄和身高 (2)对变量 x,y有观测数据(xi,yi)(i1,2,10),得散点图;对变量 u,v有观测 数据(ui,vi)(i1,2,10),得散点图.由这两个散点图可以判断( ) 图 232 A.变量 x与 y正相关,u与 v正相关 B.变量 x与 y正相关,u与 v负相关 C.变量
6、 x与 y负相关,u与 v正相关 D.变量 x与 y负相关,u与 v负相关 【精彩点拨】 结合相关关系,函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判 断. 【尝试解答】 (1)A、B、C 都是函数关系,对于 A,Va3;对于 B,Sr2;对 于 C,g(n) (n2).而对于年龄确定的不同的人可以有不同的身高,选 D. (2)由图象知,变量 x与 y呈负相关关系;u与 v呈正相关关系. 【答案】 (1)D (2)C 判断两个变量 x和 y间是否具有线性相关关系,常用的简便方法就是绘制散点图,如果发 现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个 3 别
7、点的位置的影响. 再练一题 1.某公司 20092014年的年利润 x(单位:百万元)与年广告支出 y(单位:百万元)的统计 资料如下表所示: 年份 2009 2010 2011 2012 2013 2014 利润 x 12.2 14.6 16 18 20.4 22.3 支出 y 0.62 0.74 0.81 0.89 1 1.11 A.利润中位数是 16,x与 y有正线性相关关系 B.利润中位数是 18,x与 y有负线性相关关系 C.利润中位数是 17,x与 y有正线性相关关系 D.利润中位数是 17,x与 y有负线性相关关系 1 【解析】 由表知,利润中位数是 (1618)17,且 y随
8、x的增大而增大,故选 C. 2 【答案】 C 求回归直线方程 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此 进行了 10次试验,收集数据如下: 零件数 x(个) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间 y(分) 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 (1)y与 x是否具有线性相关关系? (2)如果 y与 x具有线性相关关系,求 y关于 x的回归直线方程. 【精彩点拨】 画散点图确定相关关系求回归直线系数 写回归直线方程 【尝试解答】 (1)画散点图如下: 由上图可知 y与 x具有线性相关关系. (2)列表、计算: 4
9、 i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 xiy 620 1 360 2 250 3 240 4 450 5 700 7 140 8 640 10 350 12 200 i x55,y91.7, 10 10 10 x2i38 500, y2i87 777, xiyi55 950 i1 i1 i1 10 i1xiyi10x y 55 95010 55 91.7 b 0.668, 10 2 38 50010 552 i1x2i10x a y bx91.
10、70.6685554.96. 即所求的回归直线方程为: y0.668x54.96. 用公式求回归直线方程的一般步骤: 1列表 xi,yi,xiyi; n n 2计算 x,y,i1x , xiyi; 2 i1 3代入公式计算 b、 a的值; 4写出回归直线方程. 再练一题 2.已知变量 x,y有如下对应数据: x 1 2 3 4 y 1 3 4 5 (1)作出散点图; (2)用最小二乘法求关于 x,y的回归直线方程. 【解】 (1)散点图如图所示: 5 1234 5 (2)x , 4 2 1345 13 y , 4 4 4 xiyi16122039. i1 4 x2i1491630, i1 b
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