江苏省2019高考数学二轮复习专题三解析几何3.3大题考法_椭圆讲义含解析201905231172.doc
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1、第三讲 大题考法椭圆题型(一)直线与椭圆的位置关系主要考查直线与椭圆的位置关系及椭圆的方程、直线方程的求法.典例感悟例1如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆1(ab0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC2AB,求直线AB的方程解(1)由题意,得且c3,解得a,c1,则b1,所以椭圆的标准方程为y21.(2)当ABx轴时,AB,又CP3,不合题意当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为yk(x1),A(x1,y1),B(x2,y2),将AB的方程代入椭圆方程,得(1
2、2k2)x24k2x2(k21)0,则x1,2,C的坐标为,且AB.若k0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意从而k0,故直线PC的方程为y,则P点的坐标为,从而PC.因为PC2AB,所以,解得k1.此时直线AB的方程为yx1或yx1.方法技巧解决直线与椭圆的位置关系问题的2个注意点(1)直线方程的求解只需要两个独立条件,但在椭圆背景下,几何条件转化为坐标的难度增加,涉及到长度、面积、向量等(2)直线与椭圆的位置关系处理需要通过联立方程组来处理,联立方程组时要关注相关的点是否能够求解,不能求解的可以用根与系数的关系来处理演练冲关1(2018南通、泰州一调)如图,在平面直角坐标
3、系xOy中,已知椭圆1(ab0)的离心率为,两条准线之间的距离为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)已知椭圆的左顶点为A,点M在圆x2y2上,直线AM与椭圆相交于另一点B,且AOB的面积是AOM的面积的2倍,求直线AB的方程解:(1)设椭圆的焦距为2c,由题意得,4,解得a2,c,所以b.所以椭圆的标准方程为1.(2)法一:(设点法)因为SAOB2SAOM,所以AB2AM,所以M为AB的中点因为椭圆的方程为1,所以A(2,0)设M(x0,y0)(2x0b0),右准线l方程为x4,右焦点F(1,0),A为椭圆的左顶点(1)求椭圆C的方程;(2)设点M为椭圆在x轴上方一点,点N在右准线上且满足0且5
4、|2|,求直线AM的方程解:(1)4,c1,a24,b23,椭圆C的方程为1.(2)设AM的方程为yk(x2),联立消去y,得(4k23)x216k2x16k2120,xM2,yMk(xM2).而kMN,又xN4,MN |xMxN|.又AM|xMxA|,5|2|,52,k1或,AM的方程为yx2或yx.题型(二)椭圆与圆的综合问题主要考查直线与椭圆的位置关系以及椭圆与圆相结合的问题,主要求椭圆、圆的方程.典例感悟例2(2018无锡期末)已知椭圆E:1(ab0)的离心率为,F1,F2分别为左、右焦点,A,B分别为左、右顶点,D为上顶点,原点O到直线BD的距离为.设点P在第一象限,且PBx轴,连结
5、PA交椭圆于点C,记点P的纵坐标为t.(1)求椭圆E的方程;(2)若ABC的面积等于四边形OBPC的面积,求直线PA的方程;(3)求过点B,C,P的圆的方程(结果用t表示)解(1)因为椭圆E:1(ab0)的离心率为,所以a22c2,bc,所以直线DB的方程为yxb,又O到直线BD的距离为,所以,解得b1,a.所以椭圆E的方程为y21.(2)设P(,t),t0,则直线PA的方程为y(x),由整理得(4t2)x22t2x2t280,解得xC,则点C的坐标是,因为ABC的面积等于四边形OBPC的面积,所以AOC的面积等于BPC的面积,SAOC,SPBCt,则,解得t.所以直线PA的方程为x2y0.(
6、3)因为B(,0),P(,t),C,所以BP的垂直平分线为y,BC的垂直平分线为yx,所以过B,C,P三点的圆的圆心为,则过B,C,P三点的圆的方程为22,即所求圆的方程为x2xy2ty0.方法技巧椭圆与圆的综合问题的解题策略(1)在椭圆背景下,常会出现给出三点(包含椭圆上的点)求圆的方程,也会出现给出以椭圆上的两点为直径的圆的问题这里涉及到椭圆上动点如何求解,以及椭圆的弦的处理(2)以两点为直径的圆,可以用直角三角形处理,也可以用向量数量积处理,这两种方法都是转化为点坐标来处理. (3)运算时要加强“设而不求”思想的渗透,出现多个变量时,要有消元意识和主元思想;在代入运算过程中,不要忘掉整体
7、思想(4)在研究直线与椭圆相交的问题时,通常有两种方法来设参,一是设点坐标来作为参数,二是设直线的斜率作为参数在学习中,要通过比较来看应用哪种方法较为简便,以免将问题复杂化演练冲关(2018镇江期末)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:1(ab0)的离心率为,左焦点F(2,0),直线l:yt与椭圆交于A,B两点,M为椭圆E上异于A,B的点(1)求椭圆E的方程;(2)若M(,1),以AB为直径的圆P过点M,求圆P的标准方程解:(1)因为e,且c2,所以a2,b2.所以椭圆方程为1.(2)设A(s,t),则B(s,t),且s22t28.因为以AB为直径的圆P过点M,所以MAMB,所以0,又
8、(s,t1),(s,t1),所以6s2(t1)20.由解得t,或t1(舍,因为M(,1),所以t0),所以s2.又圆P的圆心为AB的中点(0,t),半径为|s|,所以圆P的标准方程为x22.题型(三)椭圆中的定点、定值问题 主要考查直线与椭圆的位置关系及动直线、动圆过定点问题或与动点有关的定值问题.典例感悟例3(2018江苏六市调研)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知B1,B2是椭圆1(ab0)的短轴端点,P是椭圆上异于点B1,B2的一动点当直线PB1的方程为yx3时,线段PB1的长为4.(1)求椭圆的标准方程;(2)设点Q满足QB1PB1,QB2PB2.求证:PB1B2与QB1B2的面积之
9、比为定值解设P(x0,y0),Q(x1,y1)(1)在yx3中,令x0,得y3,从而b3.由得1.所以x0.因为PB1|x0|,所以4,解得a218.所以椭圆的标准方程为1.(2)法一:(设点法) 直线PB1的斜率为kPB1,由QB1PB1,所以直线QB1的斜率为kQB1.于是直线QB1的方程为yx3.同理,QB2的方程为yx3.联立两直线方程,消去y,得x1.因为P(x0,y0)在椭圆1上,所以1,从而y9.所以x1.所以2.法二:(设线法) 设直线PB1,PB2的斜率分别为k,k,则直线PB1的方程为ykx3.由QB1PB1,直线QB1的方程为yx3.将ykx3代入1,得(2k21)x21
10、2kx0.因为P是椭圆上异于点B1,B2的点,所以x00,从而x0.因为P(x0,y0)在椭圆1上,所以1,从而y9.所以kk,得k.由QB2PB2,所以直线QB2的方程为y2kx3.联立解得x1.所以2.方法技巧1定点问题的两种求解方法(1)引进参数法,引进动点的坐标或动直线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点(2)由特殊到一般法,根据动点或动直线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关2定值问题的基本求解方法先用变量表示所需证明的不变量,然后通过推导和已知条件,消去变量,得到定值,即解决定值问题首先是求解非定值问题,即变量问题,最后才是定值问题演练冲关1已
11、知椭圆C:1(ab0)的右焦点F(,0),长半轴长与短半轴长的比值为2.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设不经过点B(0,1)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M,N,若点B在以线段MN为直径的圆上,证明直线l过定点,并求出该定点的坐标解:(1)由题意得,c,2,a2b2c2,a2,b1,椭圆C的标准方程为y21.(2)证明:当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为ykxm(m1),M(x1,y1),N(x2,y2)联立,得消去y可得(4k21)x28kmx4m240.16(4k21m2)0,x1x2,x1x2.点B在以线段MN为直径的圆上,0.(x1,kx1m1)(x2,kx2m1)(k21)x
12、1x2k(m1)(x1x2)(m1)20,(k21)k(m1)(m1)20,整理,得5m22m30,解得m或m1(舍去)直线l的方程为ykx.易知当直线l的斜率不存在时,不符合题意故直线l过定点,且该定点的坐标为.2.已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,且过点P(2,1)(1)求椭圆C的方程;(2)设点Q在椭圆C上,且PQ与x轴平行,过点P作两条直线分别交椭圆C于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若直线PQ平分APB,求证:直线AB的斜率是定值,并求出这个定值解:(1)由e,得a2b,所以椭圆C的方程为1.把P(2,1)的坐标代入,得b22,所以椭圆C的方程是1.(2) 由已知得PA,P
13、B的斜率存在,且互为相反数设直线PA的方程为y1k(x2),其中k0.由消去y,得x24kx(2k1)28,即(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)280.因为该方程的两根为2,xA,所以2xA,即xA.从而yA.把k换成k,得xB,yB.计算,得kAB,是定值课时达标训练A组大题保分练1.如图,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于两点M,N(点M在点N的左侧),且MN3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与椭圆T:1相交于两点A,B,连结AN,BN,求证:ANMBNM.解:(1)设圆C的半径为r,依题意得,圆心坐标为(r,2)MN3,r ,r,圆C的方程为2(y
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