第八章:灰色系统建模.ppt
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1、,南京航空航天大学经济管理学院 精品课程群建设组,第八章 灰色系统建模,8.1 GM(1,1)模型 定义8.1.1 称 为灰色微分型方程. 定义8.1.2 若灰色微分型方程满足下列条件: 信息浓度无限大 序列具有灰微分内涵 背景值到灰导数成分具有平射关系 则称此灰色微分型方程为灰色微分方程. 命题8.1.1 方程 为灰色微分方程,其中,定义8.1.3 称 为GM(1,1)模型. 符号GM(1,1)的含义如下: G M (1, 1) Grey Model 1阶方程 1个变量,定理8.1.1 设X(0)为非负序列: 其中x(0)(k)=0,k=1,2, ,n; X(1)为X(0)的1-AGO序列:
2、 其中 ; Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列: 其中 ;k=2,3, ,n 若 为参数列,且 则灰色微分方程 的最小二乘估计参数列满足,定义8.1.4 设X(0)为非负序列,X(1)为X(0)的1-AGO序列, Z(1)为X(1)的紧邻均值生成序列, , 则称 为灰色微分方程 的白化方程,也叫影子方程.,定理8.1.2 设B,Y, 如定理8.1.1所述,则 白化方程 的解也称时间响应函数为 GM(1,1)灰色微分方程 的时间响应序列为 取x(1)(0)=x(0)(1),则 还原值,定义8.1.5 称GM(1,1)模型中的参数-a为发展系数,b为灰色作用量. -a反映了 及 的发展态势.一般
3、情况下,系统作用量应是外生的或前定的,而GM(1,1)是单序列建模,只用到系统的行为序列(或称输出序列,背景值),而无外作用序列(或称输入序列,驱动量).GM(1,1)中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切内涵是灰的.灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的存在,是区别灰色建模与一般输入输出建模(黑箱建模)的分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志.,定理8.1.3 GM(1,1)模型 可以转化为 其中,定理8.1.4 设 , ,且 为GM(1,1)模型时间响应序列,其中 则,8.2 GM(1,1)模型群 定义8.2.1 设序列 将x(0)(n)取为时间轴的
4、原点,则称tn为未来. 定义8.2.2 设序列 为其GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则 当tn时,称 为模型预测值. 建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要保证有充分高的模拟精度,尤其是t=n时的模拟精度.因此建模数据一般应取为包括x(0)(n)在内的一个等时距序列.,定义8.2.3 设原始数据序列 用 建立的GM(1,1)模型称为全数据GM(1,1) 用 建立的GM(1,1)模型称为部分数据GM(1,1) 设x(0)(n+1)为最新信息,将x(0)(n+1)置入X(0),称用 建立的模型为新信息GM(1,1) 4 置入最新信息x(0)(n+1),去掉最老信息x(0)(1),称用
5、建立的模型为新陈代谢GM(1,1).,8.3 GM(1,1)模型的适用范围 模型具有多种不同的形式,主要有:,命题8.3.1 当 时,GM(1,1)模型无意义. 命题8.3.2 当GM(1,1)发展系数|a|=2时,GM(1,1)模型无意义. 通过分析,可得下述结论: (1)当-a1时,不宜采用GM(1,1),8.4 GM(2,1)和Verhulst模型 GM(1,1)适用于具有较强指数规律的序列,只能描述单调的变化过程.对于非单调的摆动发展序列或有饱和的S形序列,可以考虑建立GM(2,1),DGM和Verhulst模型.,一、GM(2,1)模型 定义8.4.1 设原始序列 其1-AGO序列X
6、(1)和1-IAGO序列(1)X(0)分别为 和 其中 X(1)的紧邻均值生成序列为 则称 为GM(2,1)灰色微分方程.,定义8.4.2 称 为GM(2,1)灰色微分方程的白化方程. 定理8.4.1 设 如定义8.4.1所述,且 则GM(2,1)参数列 的最小二乘估计为,定理8.4.2 关于GM(2,1)白化方程的解有以下结论: 若 是 的特解, 是对应齐次方程 的通解,则 是GM(2,1)白化方程的通解. 齐次方程的通解有以下三种情况: 当特征方程 有两个不相等实根时, 当特征方程有重根时, 当特征方程有一对共轭复根 时,白化方程的特解有以下三种情况: 当零不是特征方程的根时, 当零是特征
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