第五章散乱数据的可视化完整.ppt
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1、,第五章 散乱数据的可视化,散乱数据指的是在二维平面上或三维空间中,无规则的、随机分布的数据。 散乱数据的可视化是对散乱数据进行插值或拟合,形成曲线或曲面并用图形或图象表示出来的技术。 散乱数据主要来源于3个方面: 一是物理量的测量数据; 二是科学实验所得数据; 三是科学计算或工程计算的结果数据 散乱数据的可视化有着广泛的应用领域。例如,地质勘探数据、测井数据、油藏数据、气象数据以及有限元计算结果中非结构化数据的显示等,散乱数据的分类按其复杂程度可分为单自变量、双自变量及多自变量。 其可视化的方法又可以分为散乱数据的插值及拟合。 设在二维平面上有 个点 ,并有 , 插值问题就是要构造一个具有
2、连续的函数 ,使其在 点的函数值为 ,即 。 本章将主要讨论双自变量散乱数据的插值问题,首先介绍几种双自变量散乱数据的插值方法。然后再讨论大规模散乱数据的插值问题。,5.1 中、小规模散乱数据的插值,5.1.1 与距离成反比的加权法 这一方法首先是由气象学及地质学工作者提出来的,后来由于D.Shepard 的工作被称为Shepard方法。其基本思想是将插值函数F(x,y)定义为各数据点函数值fk的加权平均,即 式中 表示由(x,y)点到(xk,yk)点的距离。值一般取为2。 还可将(5.1)式重写为,式中 这是一种与距离成反比的加权方法,点 的值 对 的 影响与 至 的距离成反比。 (5.3)
3、 式中的权函数有如下性质: (1) ,非负值。 (2) ,是 连续的。 (3) ,当 时, 否则 。 (4) ,具有加权性质。,图5.2,图5.3,图5.4,1 2 3 4 5,2 2 2 2 2,10 1 5 2 3,20 20 20 20 20,假设 点处的 值为 ,如果对(5.1)式求导,则有如下结论 1)如果 ,则 处不存在一阶偏导数。即在该点处形成角点或尖点。 2)如果 ,则 处的一阶偏导数为零。即在该点处的切平面平行于 平面,形成了“平台”效应。 图5.1给出了在单自变量时不同 值得插值结果。图5.2-图5.4则给出了双自变量时不同 值的插值结果。各个图中的 值如表5.1所示。,从
4、以上讨论可以看出,Shepard方法的插值结果只能是C0连续。而且,当增加、删除或改变一个点时,权函数Wk(x,y)均需重新计算,因而该方法是一个全局插值算法。,为了克服Shepard方法的上述缺陷,Franke及Nielson提出了MQS(Modified Quadratic Shepard,改进的二次方程式Shepard)方法,它仍然是一个与距离成反比的加权方法。它的改进主要在以下两个方面: 第1,将(5.1)式中的权函数dk作适当修改,使其只能在局部范围内起作用,以改变Shepard方法的全局插值性质。这时的权函数定义为 式中,rw为一个常数。而,因此,当 点与某一点的距离大于rw时,权
5、值就为零。 第2,用节点函数 代替(5.1)式中的 , 是一个插值于 点的二次多项式,即有 。而且 在点 附近与函数值 具有局部近似的性质。因此,如果认为距离 较远的点对 影响不大,则可以认为在 点附近, 就可近似地表示 了。 根据上述性质, 可由下式表示: 式中 是按最小二乘法由下式得出的优化解:,式中, , 分别为 及 点的函数值,而 可按下式选取 其中rq为一常数,而 这说明,在(5.4)中,当 时,点 的值就不起作用了。于是 只与相邻点的值有关,因而是函数值得局部近似。 在求出 后,插值函数可表示为,由于MQS方法消除了Shepard方法中的一些缺陷,因而在散乱点插值中得到广泛的应用。
6、但是,为了求得 ,需要多次求解线性方程组,计算量大,因此,一般只用于中、小规模散乱点的插值运算。 5.1.2 径向基函数插值法 径向基函数的来源:即基函数是由单个变量的函数构成的。一个点(x,y)的这种基函数的形式往往是hk(x,y)=h(dk),这里的dk表示由点(x,y)至第k个数据点的距离。一般来说,这种方法不具有多项式精度,但只要稍加改进,即可获得具有多项式精度的插值公式 式中,qk(x,y)是一个多项式基,其阶次小于m。 上式中的系数ak,bk应满足下面的联立方程组,(5.8)式中的n个方程式满足了插值要求,而(5.9)式中的m个方程式则保证了多项式精度。二式中共有m+n个未知数,同
7、时存在m+n个方程式,联立求解,即可得出待定系数。 下面介绍两种主要的径向基函数插值法。 1.Multiquadric(MQ)方法 Multiquadric 方法是由R.L.Hardy在1971年提出来的。它是最早提出并且应用最为成功的一种径向基函数插值法。它采用的插值函数为 以单自变量简单情况为例,如图5.5所示,设对应于x=xi的点,有值f(xi)。那么这种单自变量情况下的插值函数为,从理论上说,n可以与给定点的数目不等,ai也可以有任意值,但为了求解方便,令n等于给定点的数目,Xj则等于各给定点的x坐标值。此时,如将各Xi点的值fi带入上式,则可得一组联立方程 求解此组联立方程,即可得出
8、 aj。图5.5中表示的是n=6时的结果。图中,不仅表示出F(x),而且用虚线表示出F(x)的各分量。值得注意的是,构成各分量的绝对值函数均在各Xj处有斜率变化。 如果用双曲线函数代替绝对值函数,那么,同样的点也可以用连续可微曲线来进行插值,这时,插值函数为,式中 表示任意常数。图5.6表示出 时的插值结果。大量的计算表明,如果相对于数据点之间的距离, 的最值过大,则会导致病态的系数矩阵,影响了求解。在大多数情况下, 取值小些则结果较好。,以上的插值公式很容易推广到双自变量的情况,此时有 如果将n个点(xk,yk)的值fk代入上式,即可得到一组联立方程 求解此联立方程,即可求出系数aj(j=1
9、,2,n)的值。 如令Qj表示任意的二次基函数,aj表示系数,fj表示给定点的值。则可将(5.15)式改写为 其矩阵形式为 其解为,2.薄板样条法 薄板样条法就是用此方法求出的散乱点的插值函数使下面这一泛函表达式具有最小值 I(F)表示受限于插值点的无限弹性薄板的弯曲能量。因此,这一方法的实质从力学观点看是使插值函数所代表的弹性薄板受限于插值点,并且具有最小的弯曲能量。这是一个泛函求极值的问题。这一变分问题的解即为我们所需要插值函数,具有式(5.8)和(5.9)的形式,其基函数具有hk(x,y)=h(dk)=dk2logdk 的形式。,那么,插值后,任意一点p的值为 (5.17),5.1.3有
10、限元方法 由于其基本原理与求解偏微分方程的有限元方法相同,因而被称为散乱点插值的有限元方法。在给出具有双自变量的散乱点和函数值,然后先求出二维平面上散乱点的凸包,并进行三角剖分,形成一系列的三角形,然后构成一系列的面片,使其插值于都有点和对应的函数值。 本节将主要讨论在生成二维点集的三角剖分之后,如何构造插值于各点函数的面片问题。一种最简单的方法是,构造出插值于各点函数的平面三角面片,这在各个三角面片之间只能是C0连续,不能满足要求。因而需要讨论如何利用高阶多项式进行插值,且在各面片具有C1连续的插值方法。 1.Clough-Tocher(克拉夫-托赫尔)插值法 如果用一个三次曲面片对一个三角
11、形的顶点进行插值,该三次曲面片可表示为一个双自变量的三次多项式,即,该式中共有10个待定的系数。 如图5.8(a)所示,设A,B,C是三角形的3个顶点,将3个顶点的坐标值代入上式,可得出3个关系式。如果可以得出3个顶点处相对于x和y的偏导数,并将其代入上式,则又可得到6个关系式。为了使相邻的曲面片光滑连接,那么共享一条边的二个面片,在与该边正交的方向上的偏导数应该相同,这样又可以建立3个关系式。于是我们有了12个关系式,但是只有10个未知数,称为超定方程,无法求解。,2.Herron插值法 G.Herron提出了一种在理论上有创新的方法,他所定义的三角面片插值函数具有如下的性质:,3.偏导数的
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