计量经济学—理论和应用8-随机时间序列模型1.ppt
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1、计量经济学理论和应用,张红霞 Zhanghx_,时间序列数据的建模,如何建立一个平稳时间序列模型,如何进行预测 不是以不同变量间的因果关系为基础,而是寻找时间序列自身的变化规律,不以任何经济理论为基础,主要内容,时间序列模型的基本概念及其适用性 随机时间序列模型的平稳性条件 随机时间序列模型的识别 随机时间序列模型的估计 随机时间序列模型的检验,时间序列模型的基本概念及其适用性,基本概念 利用自身的过去预测自身的未来。一般形式 Xt=F(Xt-1, Xt-2, , t) 具体模型的建立需要: 具体形式 滞后期 随机扰动项的结构,线性模型,一期滞后,白噪声,时间序列模型的基本概念及其适用性,基本
2、概念 上面的模型是一阶自回归过程AR(1) 一般的p阶自回归过程AR(p)为 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t 如果随机扰动项是一个白噪声(t=t),则上式为一纯AR(p)过程(pure AR(p) process),记为 Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t,时间序列模型的基本概念及其适用性,基本概念 如果t不是一个白噪声,通常认为它是一个q阶的移动平均(moving average)过程MA(q): t=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 这是一个纯MA(q)过程(pure MA(p) process) 注意:MA(q)也可记为,
3、时间序列模型的基本概念及其适用性,基本概念 纯AR(p)与纯MA(q)结合,得到一个一般的自回归移动平均(autoregressive moving average)过程ARMA(p,q) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p + t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q 一个随机时间序列可以通过一个自回归移动平均过程生成,即该序列可以由其自身的过去或滞后值以及随机扰动项来解释 如果该序列是平稳的,即它的行为并不会随着时间的推移而变化,那么我们就可以通过该序列过去的行为来预测未来。,随机时间序列模型的平稳性条件,AR(p)模型的平稳性条件 如果一个p阶自回归模型AR(p)
4、生成的时间序列是平稳的,就说该AR(p)模型是平稳的, 否则,就说该AR(p)模型是非平稳的 对p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + + pXt-p +t 引入滞后算子 LXt=Xt-1, L2Xt=Xt-2, , LpXt=Xt-p,随机时间序列模型的平稳性条件,变为 (1-1L- 2L2-pLp)Xt=t 记(L)= (1-1L- 2L2-pLp) 则多项式 (z)= (1-1z- 2z2-pzp)=0 称为AR(p)的特征方程。 可以证明,如果AR(p)的特征方程的所有根都在单位圆外(模大于1),则AR(p)模型是平稳的,随机时间序列模型的平稳性条件,AR(1)模
5、型的平稳性条件,如果模型稳定,则有E(Xt2)=E(Xt-12),从而上式可变换为,稳定条件下,方差是一非负的常数,从而有 |1,AR(1)的特征方程,随机时间序列模型的平稳性条件,根为 z=1/ AR(1)稳定,即 | 1,意味着特征根z大于1。,随机时间序列模型的平稳性条件,AR(2)模型的平稳性,方程两边同乘以Xt,再取期望得: 而 因此,随机时间序列模型的平稳性条件,同样有 方差为 由平稳性的定义,该方差必须是一不变的正数,于是有 1+21, 2-11, |2|1,随机时间序列模型的平稳性条件,这就是AR(2)的平稳性条件,或称为平稳域。它是一顶点分别为(-2,-1),(2,-1),(
6、0,1)的三角形。,(0,1),模型的平稳域,(-2,-1),(2,-1),随机时间序列模型的平稳性条件,AR(2)模型 对应的特征方程1-1z-2z2=0 的两个根z1、z2满足: z1z2=-1/2 , z1+z2 =-1/2 解出1,2,随机时间序列模型的平稳性条件,由AR(2)的平稳性,|2|=1/|z1|z2|1,有 于是| z2 |1。由 2 - 1 1可推出同样的结果。,随机时间序列模型的平稳性条件,对高阶自回模型AR(p)来说,多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根,但有一些有用的规则可用来检验高阶自回归模型的稳定性: AR(p)模型稳定的必要条件是: 1+2+p1 由于
7、i(i=1,2,p)可正可负,AR(p)模型稳定的充分条件是: |1|+|2|+|p|1,随机时间序列模型的平稳性条件,MA(q)模型的稳定性,Xt=t - 1t-1 - 2t-2 - - qt-q,当滞后期大于q时,Xt的自协方差系数为0。有限阶移动平均模型总是平稳的。,随机时间序列模型的平稳性条件,ARMA(p,q)模型的稳定性 MA(q)模型总是平稳的,因此ARMA (p,q)模型的平稳性取决于AR(p)部分的平稳性。 当AR(p)部分平稳时,则该ARMA(p,q)模型是平稳的,否则,不是平稳的.,随机时间序列模型的平稳性条件,一个平稳的时间序列总可以找到生成它的平稳的随机过程或模型;
8、一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的,对差分后平稳的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型,随机时间序列模型的平稳性条件,如果一个非平稳时间序列通过d次差分,变为平稳的,然后用一个平稳的ARMA(p,q)模型作为它的生成模型,则我们就说该原始时间序列是一个自回归单整移动平均(autoregressive integrated moving average)时间序列,记为ARIMA(p,d,q)。 一个ARIMA(2,1,2)时间序列在它成为平稳序列之前先得差分一次,然后用一个ARMA(2,2)模型作为它的生成模型的。,随机时间序列模型的识别,随机时间序列模型的识别,
9、就是对于一个平稳的随机时间序列,找出生成它的合适的随机过程或模型,即判断该时间序列是遵循一纯AR过程、还是遵循一纯MA过程或ARMA过程 所使用的工具主要是时间序列的自相关函数(autocorrelation function,ACF)及偏自相关函数(partial autocorrelation function, PACF ),随机时间序列模型的识别,AR(p)过程的识别 自相关函数ACF 例 一阶自回归模型 Xt=Xt-1+ t 其k阶滞后自协方差为 AR(1)模型的自相关函数为 由AR(1)的稳定性知|1,因此,k时,呈指数形衰减,直到零。这种现象称为拖尾或称AR(1)有无穷记忆(in
10、finite memory)。,随机时间序列模型的识别,AR(p)过程的识别 例 阶自回归模型AR(2) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + t k期滞后自协方差 k 阶自相关函数为 其中 :1=1/(1-2), 0=1,如果AR(2)稳定,则由1+21知|k|衰减趋于零,呈拖尾状。至于衰减的形式,要看AR(2)特征根的实虚性,若为实根,则呈单调或振荡型衰减,若为虚根,则呈正弦波型衰减。,AR(p)过程的识别 p阶自回归模型AR(p) Xt=1Xt-1+ 2Xt-2 + pXt-p + t 其k期滞后协方差为: 自相关函数 可见,无论k有多大, k的计算均与其到p阶滞后的自相关函数有关,因此呈
11、拖尾状。 如果AR(p)是稳定的,则|k|递减且趋于零,事实上,自相关函数 是一p阶差分方程,其通解为 其中:1/zi是AR(p)特征方程(z)=0的特征根,由AR(p)平稳的条件知,|zi|1; 因此,当1/zi均为实数根时,k呈几何型衰减(单调或振荡); 当存在虚数根时,则一对共扼复根构成通解中的一个阻尼正弦波项, k呈正弦波衰减。,AR(p)过程的识别 偏自相关函数 为什么提出偏自相关函数? 例:在AR(1)随机过程中,Xt与Xt-2间有相关性可能主要是由于它们各自与Xt-1间的相关性带来的: 即自相关函数中包含了这种所有的“间接”相关。 与之相反,Xt与Xt-k间的偏自相关函数(par
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- 计量 经济学 理论 应用 随机 时间 序列 模型
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