第2章随机信号及其时域统计特性.ppt
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1、1,2,第 二章,随机信号(随机过程) 及时域统计特性,3,2.1 随机信号的基本概念及统计特性,2.2 连续时间随机信号的微分和积分,2.3 平稳随机信号的判定及其遍历性,目录,2.4 两个随机信号间的联合平稳和联合遍历,2.5 典型的随机信号,4,2.1,2.1 随机信号的基本概念及统计特性,基本要求:,深入理解随机信号的定义,了解随机信号的几种分类,理解平稳随机信号的概率分布,掌握平稳随机信号的时域统计特性,5,2.2.1 随机信号的定义,1、实验观察 接收机的噪声电压,对其多次采集 , 各次所得电压波形xi(t)都 不一样,即呈现随机性,6,样本函数: , , , ,都是时间函数,称为
2、样本函数。即每次所采集的电压波形。,7,2. 由实验角度对随机信号下定义,8,9,3.定义的理解 :,随机信号的两种定义,从两个角度描述了随机信号。 作观测时,定义1:单次试验所得的样本,可得到随机信号的统计特性;(样本函数/时间函数) 理论分析时,定义2:多次试验多个样本。将n个样本中的t0时刻记录值,归拢为一个集合,则该集合=n 维随机变量。试验次数n越多,所得到的统计特性越准确。,10,随机变量,与时间无关 ,与次数有关,随机信号,与时间相关的一族随机变量,确定性信号:每一时刻的取值是固定数值 随机性信号:每一时刻的取值是随机变量,11,解:,(1) 固定时间t,X(t)是随机变量,,是
3、一族随机变量,(2) 对随机变量做一次试验得到一个结果,,是随时间变化的函数,即样本函数。,X(t)是一随机信号。,12,2.2.2 分类,2.2.2 随机信号分类,1. 按随机信号的时间和状态来分类,(1) 连续型随机信号:时间t取值连续,且对随机信号任一时刻 的取值 都是连续型随机变量。 即时间连续、幅度连续。,(2) 离散型随机信号:时间t取值连续,且对随机信号任一时刻 的取值 都是离散型随机变量。 即时间连续、幅度离散。,(3) 连续型随机序列:相当于对连续型随机信号的采样。即时间离散、幅度连续,,(4) 离散型随机序列:相当于对离散型随机信号的采样。 即时间离散、幅度离散。 (计算机
4、所处理的对象),13,14,15,16,离散型随机序列,17,2. 按样本函数的形式来分类,不确定的随机信号:随机信号的任意样本函数的值不能被预测。例如:接收机的噪声电压波形。,确定的随机信号:随机信号的任意样本函数的值能被预测。例如,样本函数为正弦信号。,18,离散型随机信号,不是确定性随机信号,19,例3 离散型随机信号的样本函数皆为常数, 即X(t)=C=可变常数,其中C为随机变量,其可能值 为C1=1,C2=2和C3=3,它们分别已概率0.6、0.3及0.1 出现。X(t)是确定性随机信号吗?,X(t)是确定性随机信号,20,3. 其他分类,按概率分布函数或概率密度函数: 正态随机信号
5、、泊松随机信号、马尔可夫随机信号,按平稳性:平稳随机信号、非平稳随机信号,按遍历性:遍历随机信号、非遍历随机信号,按功率谱密度特性: 宽带随机信号、窄带随机信号等,21,2.2.3 随机信号的概率分布,2.2.3 随机信号的概率分布函数与概率密度函数,1. 一维概率分布函数与一维概率密度函数,随机信号X(t)在任意ti T的取值X(ti)是一维随机变量。记为Fx(xi;ti)=PX(ti)xi为随机信号 X(t)的一维概率分布函数。,22,2. 二维概率分布函数和二维概率密度函数,若FX(x1,x2;t1,t2)对x1,x2的二阶混合偏导存在,则,为随机信号X(t)的二维概率密度函数,23,3
6、. n维概率分布函数和n维概率密度函数,24,4. 概率分布函数和概率密度函数的性质,定义,单调递增性,概率分布与概率密度之间的关系:,取值范围:,随机序列,25,26,概率密度函数与概率分布函数的应用,产品质量控制(生产设备的工作稳定性) 图(a):一批零件的加工尺寸 图 (b)、图 (c)可判断加工过程的质量高低,进而可评价或判断机床工具是否应该调整,27,利用振幅频次分布研究设备的随机疲劳和载荷谱 振幅峰图 (a):上升的峰值A 振幅频次图 (b):横座标-振幅峰,纵座标-振幅峰在观测时间内出现的频次。即动态波形峰值出现的频次分布。 累计频次图(c):对图(b)沿横坐标进行累计。 图 (
7、b)和(c) 即随机载荷谱。 随机载荷谱可用于判断材料所要具备的耐受程度,概率密度函数与概率分布函数的应用,28,概率密度函数用于机器状态判断 新变速箱噪声的概率密度曲线如图 (a)所示,旧变速箱噪声的概率密度曲线如图 (b)所示,概率密度函数与概率分布函数的应用,29,30,2.2.5 随机信号的数字特征,2.2.5 随机信号的数字特征,一般来说, 随机变量的数字特征:确定值; 随机信号的数字特征:确定性函数。,计算随机信号的数字特征; 1)先把时间t固定, 2)然后用随机变量的分析方法来计算。,31,1. 数学期望(一阶原点矩),显然, 是某一个平均函数,随机信号的诸样本在它的附近起伏变化
8、,如图所示:,物理意义: 如果随机信号X(t)是输出电压,则其数学期望就是某瞬时t的输出电压的统计平均值。,均值(数学期望)-mx(t)/x(t),32,2. 均方值(二阶原点矩)和方差 (二阶中心矩),33,物理意义:如果 表示噪声电压,则均方值 和方差 分别表示单位电阻上的瞬时功率的统计平均值;单位电阻上的瞬时交流功率的统计平均值。,标准差或均方差:,方差:信号X围绕均值mx的波动程度,34,时域参数,(1) 均值,(2) 均方值,(3) 方差,三者间的关系,35,3. 自相关函数 注意有些书标为Rxx(t1,t2)/Rx(t1,t2),比较具有相同数学期望和方差的两个随机信号。,36,自
9、相关函数用来描述随机信号任意两个时刻的状态之间的内在联系,通常用 描述。,当时间间隔t1=t2时,自相关函数就是均方值。,37,38,39,自相关函数及其应用,几种常见信号的自相关函数,40,自相关函数及其应用,几种常见信号的自相关函数,41,自相关函数及其应用,寻找周期成分:信号的周期性分量在自相关函数中不会衰减,且保持了原来的周期。 用噪声诊断机器运行状态: 正常机器的噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加而成,因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。 异常机器的噪声则会包含周期性成分,其幅度要比正常噪声的幅度大得多。 可在噪声的自相关函数中发现隐藏的周期分量,从而判断机器是否异常。
10、,42,自相关分析诊断的实例,汽车车身振动信号,43,自相关分析诊断的实例,自相关分析识别车床变速箱运行状态,确定存在缺陷轴的位置,44,4. 自协方差函数 注意有些书标为COVxx(t1,t2)/Cxx(t1,t2)/ Cx(t1,t2),若用随机信号的两个不同时刻之间的二阶混合中心矩来定义相关函数,我们称之为自协方差。用 表示,它反映了任意两个时刻的起伏变化量之间相关程度。,45,自协方差和自相关函数的关系,自协方差方差;自相关均方值,46,设两个随机信号 和 ,它们在任意两个时刻t1,t2的取值为随机变量 、 ,则定义它们的互相关函数为:,1、互相关函数,2.2.6 随机信号间的关系,2
11、.2.6 两个随机信号之间的关系,47,互相关函数 的性质如下,48,互相关分析的应用实例,利用互相关分析测定船舶的航速,49,互相关分析的应用实例,利用相关分析探测地下水管的破损地点,若max为正,则破损点在两端测量点中心靠传感器1的一侧。 若 max为负,则破损点在两端测量点中心靠传感器2的一侧,50,2、互协方差函数,随机信号 和 的互协方差函数定义为:,51,3、两个随机信号间的三种基本统计关系,1)统计独立,则称随机信号 和 相互独立。,若,52,t1, t2都具有 或 ,,53,(1) 相互独立(二阶矩都存在) 两者不相关。 (2) 正态随机信号:不相关=相互独立。,注:,54,举
12、例,例4:求随机相位正弦波 的数学期望,方差,自相关函数及一维概率密度。式中, 为常数,是区间0, 上均匀分布的随机变量。,解: (1) 均值,同理,55,(2)方差,可知,例4:求随机相位正弦波 的数学期望,方差,自相关函数及一维概率密度。式中, 为常数,是区间0, 上均匀分布的随机变量。,56,(3)自相关函数,57,例4:求随机相位正弦波 的数学期望,方差,自相关函数及一维概率密度。式中, 为常数,是区间0, 上均匀分布的随机变量。,58,例5:设随机信号X(t)=A+Bt,其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量,求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维
13、概率密度函数。,(1)数学期望,(2)方差,59,(3)自相关函数,(4)自协方差函数,例5:设随机信号X(t)=A+Bt,其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量,求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。,60,(5)一维概率密度函数,因A和B都是正态分布随机变量,,所以,给定时间t,X(t)也是正态分布随机变量,且,例5:设随机信号X(t)=A+Bt,其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量,求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。,61,(6)二维概率密度函数,给定时间t1和t2,,X(t1) 和
14、X(t2)是两个正态分布随机变量,且,例5:设随机信号X(t)=A+Bt,其中A和B是相互独立的正态分布N(0,1)随机变量,求X(t)的数学期望、方差、自相关函数、协方差函数、一维和二维概率密度函数。,62,例6(课堂练习):设随机信号X(t)=Acosw0t,其中w0为常数,A为在(0,1)之间均匀分布的随机变量, (1) 画出随机信号X(t)的几个样本函数图形; (2) 试求t=0、/(4w0)和3/(4w0)时, X(t)的一维概率密度函数。 (3)求X(t)的均值、相关函数、协方差函数和方差函数,解:,t=0,X1=X(t=0)=A,t=/(4w0),X2=X(t= /(4w0)=A
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- 随机 信号 及其 时域 统计 特性
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