第2章静电场.ppt
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1、第二章 静电场,第二章 静 电 场, 静电场: 相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。 电荷与观察者相对静止电量不随时间而变化, 本章任务: 阐述静电荷与电场之间的关系,在已知电荷或电位的情况下求解 电场的各种计算方法,或者反之。, 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一 定条件下可类比推广到恒定电场,恒定磁场及时变场。,一 静电感应 静电平衡条件,静电场中的导体,静电平衡条件,(1)导体内部任何一点处的电场强度为零; (2)导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直.,导体表面是等势面,导体内部电势相等,屏蔽袋,屏蔽线,屏蔽服,范德格拉夫发电机如何运作? 范德
2、格拉夫发电机是由美国科学家范德格拉夫 (1901- 1967) 于1931年发明的。发电机以摩擦生电的原理,不断产生大量电荷。 图为学校普遍使用的一种模型,內有一条橡皮带,由胶轮带动运转。当点电机借摩擦或高电压产生静电,运转的橡皮带便会将电荷不断地传到球形金属罩的内表面。因为电荷之间互相排斥,所以电荷便移动到球形罩的外表面,形成大量电荷积聚在球形罩上。,发电机有什么应用? 范德格拉夫发电机球形罩上的电荷能产生超过一千万伏特的电压。在核物理实验中,如此高的电压可用來加速各种帶电粒子,如质子、电子等。 此外,这种发电机也可用来演示很多有趣的静电现象,如使头发竖立起來、吸引发泡胶球、产生电火花、用电
3、风使风车旋转等。透过这些现象,我们可以更了解静电的特质。,使头发竖立 我们可以站在绝缘的椅子上,用手按着发电机的球形金属罩。由于人的身体也可导电,所以当发电机启动時,电荷便传到我们的身体上。而因为头发上的电荷互相排斥,头发便竖立起来。,吸引发泡胶球 当发泡胶球移近发电机的球形罩时,发泡胶球中分子內的电荷分布将发生变化。在分子內,正负两极的电荷被轻微地分离,产生所谓极化的现象。此时球形罩上的电荷与分子內相反的电荷产生微小的吸力,从而吸引整个发泡胶球。,产生电火花 把接地的金属小球移近发电机的球形罩时,強大的电场使电荷由球形罩跃向金属小球,在空气中产生大量离子和电子。因为离子的能应比不带电的空气分
4、子高,所以它们便自发地释放能量,产生火花。这是在空气中的放电现象,例如闪电就是电荷从一片云跃向另一片云或地面的放电现象。,产生电风 带电导体的尖端区域具有较高的表面电荷密度,而电荷密度越高,所产生的电场越强。而强大的电场使尖端周围的空气分子电离,空气中与导体电荷相反的离子或电子被尖端吸引,而那些与导体电荷相同的离子或电子则被尖端排斥到远处,这现象称为尖端效应。离子子运动时拖动空气分子,产生电风,可使扇叶转动。 日常生活中的静电 在日常生活中有很多静电的应用,像影印机、静电除尘器、静电喷漆。此外,认识静电使我们避免它可带來的危险,例如在运载易燃物品的车辆尾端系上接地铁链,把电荷传到地面,以免电火
5、花引致火灾。同一道理,医院的手术室里,因为时常应用氧气和易燃的麻醉药物,所以地板通常是抗静电的,而所有机器亦需接地,以免火花引发爆炸。,2.1.1 库仑定律,2.1 电场强度,N( 牛顿),适用条件, 两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力;,图2.1.1 两点电荷间的作用力,库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: 真空中两个静止的点电荷 与 之间的相互作用力:,2.1.2 静电场基本物理量电场强度,a) 点电荷产生的电场强度,V/m,V/m,图2.1.2 点电荷的电场,b) n个点电荷产生的电场强度 (注意:矢量叠加),c) 连续分布电荷产生的电场强度,V/m,面电荷分布,线电荷分
6、布,图2.1.3 体电荷的电场,点电荷,矢量恒等式,直接微分得, 可以证明,上述结论适用于点电荷群和连续分布电荷产生的电场。,表明 静电场是一个无旋场。,即任一分布形式的静电荷产生的电场的旋度恒等于零,即,2. 静电场的环路定律, 在静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。, 电场力作功与路径无关,静电场是保守场。,无旋场一定是保守场,保守场一定是无旋场。,由斯托克斯定理,得,3 . 电位函数,在静电场中可通过求解电位函数(Potential), 再利用上式可方便地求得电场强度E 。式中负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。,2) 已知电荷分布,求电位:,点电荷群,连续分布电荷,1)
7、 电位的引出,以点电荷为例推导电位:,根据矢量恒等式,3) E与 的微分关系,在静电场中,任意一点的电场强度E的方向总是沿着电位减少的最快 方向,其大小等于电位的最大变化率。,在直角坐标系中:,4) E与 的积分关系,设P0为参考点,根据 E 与 的微分关系,试问静电场中的某一点,图2.2.1 E与 的积分关系,5) 电位参考点的选择原则, 场中任意两点的电位差与参考点无关。, 同一个物理问题,只能选取一个参考点。, 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单,且要有意义。,例如:点电荷产生的电场:,表达式无意义, 电荷分布在有限区域时,选择无穷远处为参考点;, 电荷分布在无穷远区时,选择有限远处为
8、参考点。,6) 电力线与等位线(面), E 线:曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E的方向一致,若 是电力线的长度元,E 矢量将与 方向一致,,故电力线微分方程,当取不同的 C 值时,可得到不同的等位线(面)。,在球坐标系中:,电力线微分方程(球坐标系):,代入上式,得,将 和 代入上式,,等位线方程(球坐标系):,用二项式展开,又有 ,得,表示电偶极矩,方向由负电荷指向正电荷。,图1.2.2 电偶极子,电力线与等位线(面)的性质:, E线不能相交;, E线起始于正电荷,终止于负电荷;, E线愈密处,场强愈大;, E线与等位线(面)正交;,图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线,图2.2.4
9、 点电荷与接地导体的电场,图2.2.5 点电荷与不接地导体的电场,图2.2.6 均匀场中放进了介质球的电场,图2.2.7 均匀场中放进了导体球的电场,图2.2.8 点电荷位于一块介质上方的电场,图2.2.9 点电荷位于一块导平面上方的电场,例2.2.1 等量异号线电荷的几何轴相距为2b。 求:周围的电位和场强E。,解: 1)线电荷产生的电位,式中r+和r分别为场点P到正、负电荷的距离,r0+和r0-分别为参考点到正、负线电荷的距离。,参考点选在y轴r0+=r0-,简化为,由叠加原理可得,整理可得,可见: 的等位面为一族偏心圆柱面,圆柱面的几何轴线在y=0平面上,与z轴平行;,值不同,k值将不同
10、,几何轴位置h和半径a随之不同。,即,等位面与线电荷的相对位置具有如下关系 :, 对上式等号两端取散度;, 利用矢量恒等式及矢量积分、微分的性质,得,2.2.2 真空中的高斯定律,1. 静电场的散度高斯定律的微分形式,真空中高斯定律的微分形式,点电荷产生的电场,其物理意义表示为,高斯定律说明了静电场是一个有源场,电荷就是场的散度(通量源),电力线从正电荷发出,终止于负电荷。,2. 高斯定律的积分形式,式中 n 是闭合面包围的点电荷总数。,图2.2.13 静电场中的导体,矢量恒等式:,图2.2.14 体积V内电偶极矩 产生的电位, 在均匀极化的电介质内,极化电荷体密度,这就是电介质极化后,由面极
11、化电荷 和体极化电荷 共同作用在真空 中产生的电位。, 根据电荷守恒原理,这两部分极化电荷的总和, 有电介质存在的场域中,任一点的电位及电场强度表示为,其中,相对介电常数;,介电常数,单位(F/m), 在各向同性介质中, D线从正的自由电荷发出而终止于负的自由电荷。,( ),( ),( ),q,q,D 的通量与介质无关,但不能认为D 的分布与介质无关。,D 通量只取决于高斯面内的自由电荷,而高斯面上的 D 是由高斯面内、外的系统所有电荷共同产生的。,B) 高斯定律的积分形式,图2.2.16 点电荷q分别置于金属球壳的内外,图2.2.15 点电荷的电场中置入任意一块介质,解:由于 的分布具有轴对
12、称性, 因此 D 的分布也具有轴对称性, D只有 Dr 分量,且只与 r 有关。,柱内(rR) ,有体电荷分布,满足D = ,柱外(rR),无体电荷=0,满足D = 0,应分两个区域分别求解,D 在柱坐标系下展开简化,1)在柱内(rR时),由不定积分求解,其中C1为积分常数,因r = 0处D = 0,故C1=0,2)在柱外(rR),其中积分常数C2由分界面边界条件确定,(rR),前面已求得圆柱体内,圆柱体外的通解为,由于r = R处无面电荷,根据边界条件: D1n=D2n,则得,即,因此,圆柱体外的电场,可见,电荷只分布在r 2 的圆柱内,圆柱外无电荷分布。,例2.2.5 已知圆柱坐标系中r2
13、时, ; r2时, ,求电场中的体电荷分布。,解:r2时:,r2时:,静电场是一个无旋、有源场,静止电荷就是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为:,解:根据静电场的旋度恒等于零的性质,例2.3.1 已知 试判断它能否表示个静电场?,对应静电场的基本方程 ,矢量 A 可以表示一个静电场。,能否根据矢量场的散度来判断该矢量场是否是静电场?,例2.3.2 试判断真空中的下列表达式是否可能是静电场?若可能,求相应的电荷密度,解:,E1可能是静电场,其体电荷密度为,E2决不可能是静电场。,以分界面上点P作为观察点,作一 小扁圆柱高斯面( )。,2、电场强度E的衔接条件,以点P 作为观察点,作一小
14、矩形 回路( )。,分界面两侧 E 的切向分量连续。,分界面两侧的 D 的法向分量不连续。当 时,D 的法向分量连续。,图2.3.2 在电介质分界面上应用环路定律,则有,根据,根据 则有,图2.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律,表明:(1)导体表面是一等位面,电力线与导体表面垂直,电场仅有法向分量;(2)导体表面上任一点的D 就等于该点的自由电荷密度 。,在交界面上不存在 时,E、D满足折射定律。,折射定律,图2.3.3 分界面上E线的折射,因此,表明: 在介质分界面上,电位是连续的。,3、用电位函数 表示分界面上的衔接条件,设点1与点2分别位于分界面的两侧,其间距为d, ,则,表明: 一
15、般情况下 ,电位的导数是不连续的。,图2.3.4 电位的衔接条件,对于导体与理想介质分界面,用电位 表示的衔接条件应是如何呢?,解:忽略边缘效应,例2.3.3 如图(a)与图(b)所示平行板电容器,已知 和 ,图(a)已知极板间电压U0 , 图(b)已知极板上总电荷 ,试分别求其中的电场强度。,推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程:,泊松方程, 泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。,例1.4.1 列出求解区域的微分方程,1.4.2 静电场的边值问题,图2.4.1 三个不同媒质区域的静电场,为什么说第二类 边界条件 与导体上给定电荷分 布或边界是电力线的条 件是等价的?
16、,例2.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形,铅皮半径为a,内外导体之间电介质的介电常数为 ,并且在两导体之间接有电源 U0,试写出该电缆中静电场的边值问题。,解:根据场分布对称性,确定场域。,(阴影区域),场的边值问题,图2.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面,同轴电缆,同轴电缆从用途上分可分为基带同轴电缆和宽带同轴电缆(即网络同轴电缆和视频同轴电缆)。 同轴电缆的得名与它的结构相关。同轴电缆也是局域网中最常见的传输介质之一。它用来传递信息的一对导体是按照一层圆筒式的外导体套在内导体(一根细芯)外面,两个导体间用绝缘材料互相隔离的结构制选的,外层导体和中心轴芯
17、线的圆心在同一个轴心上,所以叫做同轴电缆,同轴电缆之所以设计成这样,也是为了防止外部电磁波干扰异常信号的传递。,解:只与r有关,与无关、与z无关。,例2-6 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2,电压为U,试由拉普拉斯方程2=0,求介质中的E分布。,介质中无电荷分布,满足2=0, 在圆柱坐标系下展开简化为,不定积分求解得,通解为,由场域边界的电位值确定积分常数C1和C2,,设外导体r=R2处为电位参考点,,内导体r=R1处电位为U,则,联立求解得,因而同轴电缆介质中,因此,和E的分布也具有对称性, 且只与x有关。,在直角坐标系下展开,泊松方程简化为,( x 0),( x 0),1)当x0时,通
18、过一次不定积分,得,再次不定积分,得通解,设分界面x=0处为电位参考点,则,由于分界面x=0上没有面电荷,即,2)由于x=0平面左右两侧的电荷分布对称, 由对称性,同理可得x0区域的电位解,(x0),两个区域中场强解可合并为,3)电场强度可通过电位梯度运算得到,两个区域中场强解可合并为,2. 唯一性定理的重要意义, 可判断静电场问题的解的正确性:, 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据。,平板电容器外加电源U0,2.4.3 唯一性定理,解:判断依据是解的唯一性定理:既满足泊松方程 , 又满足边值d-0=U0,1绝不是解;,例2-8 试判断以下电位表达
19、式哪个是图示问题的正确解?,例2-8题图,2是正确解。,3也是正确解。,4也不是解。,例2-9 同轴电缆内外导体半径分别为R1和R2,中间为两种介质,介电常数分别为1和2,分界面过直径(如图示),电压为U ,试说明两种介质中的E相同。,例2-9题图,解: 1中无体电荷, 满足,2中无体电荷,满足,两种介质中满足的泊松方程相同。,1的内边界(R1半圆柱面)与2的内边界(R1半圆柱面)等电位1;,1的外边界(R2半圆柱面)与2的外边界(R2半圆柱面)等电位2;,由于介质分界面过直径,两侧只有切线分量,介质分界面衔接条件为E1t= E2t。两种介质中的边界条件也相同,根据解的唯一性定理可知,因此其解
20、答唯一,即E1= E2。,2.5 镜像法与电轴法,2.5.1 镜像法,边值问题:,1.平面导体的镜像,镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。,图2.5.1 平面导体的镜像,上半场域边值问题:,(方向指向地面),整个地面上感应电荷的总量为,例2.5.1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,解: 设点电荷 离地面高度为h,则,图2.5.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布,2. 导体球面镜像,设在点电荷附近有一接地导体球,求导体球外空间的电位及电场分布。,1) 边值问题:,(除q点外的导体球外空间),图2.
21、5.3 点电荷对接地导体球面的镜像,由叠加原理,接地导体球外任一点P的电位与电场分别为,图2.5.5 点电荷位于接地导体球附近的场图,图2.5.4 接地导体球外的电场计算,在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置,解: 边值问题:,( 除 q 点外的导体球外空间),( S 为球面面积 ),例2.5.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。,任一点电位及电场强度为:,图2.5.6 点电荷对不接地金属 球的镜像,感应电荷分布及球对称性,在球内有两个等效电荷。,正负镜像电荷绝对值相等。,正镜像电荷只能位于球心。,试确定用镜像法求解下列问题时,其镜像电荷的个数,大小与位置?,补充题
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