高等数学课件--D126一致收敛.ppt
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1、2019/6/16,同济版高等数学课件,函数项级数的一致收敛性,*第六节,一、函数项级数的一致收敛性,及一致收敛级数的基本性质,二、一致收敛级数的基本性质,第十二章,2019/6/16,同济版高等数学课件,一、函数项级数的一致收敛性,幂级数在收敛区间上的性质类似于多项式,但一般函,数项级数则不一定有这么好的特点.,例如, 级数,每项在 0,1 上都连续,其前 n 项之和为,和函数,该和函数在 x1 间断.,2019/6/16,同济版高等数学课件,因为对任意 x 都有:,所以它的收敛域为(, ) ,但逐项求导后的级数,其一般项不趋于0,所以对任意 x 都发散 .,又如, 函数项级数,问题: 对什
2、么样的函数项级数才有:,逐项连续,和函数连续;,逐项求导 = 和函数求导;,逐项积分 = 和函数积分,2019/6/16,同济版高等数学课件,定义.,设 S(x) 为,若对,都有一个只依赖于 的自然数 N ,使,当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有,则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .,在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然, 在区间 I 上,一致收敛于和函数S(x),部分和序列,一致收敛于S(x),余项,一致收敛于 0,2019/6/16,同济版高等数学课件,几何解释 : (如图),当n N 时,曲线,总位于曲线,之间.,2019/6/16,同济版高等数学课件
3、,例1.,研究级数,在区间 0, +) 上的收敛性.,解:,2019/6/16,同济版高等数学课件,余项的绝对值:,因此, 任给 0,取自然数,则当n N 时有,这说明级数在 0, +) 上一致收敛于,2019/6/16,同济版高等数学课件,例2.,证明级数,在 0,1 上不一致收敛 .,证:,取正数,对无论多么大的正数 N ,因此级数在 0, 1 上不,一致收敛 .,2019/6/16,同济版高等数学课件,说明:,对任意正数 r 1,级数在 0, r 上一致收敛 .,事实上, 因为在 0, r 上,任给 0,欲使,只要,因此取,只要,即级数在 0, r 上一致收敛 .,2019/6/16,同
4、济版高等数学课件,维尔斯特拉斯(Weierstrass) 判别法,用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出,这往往比较困难.,下面介绍一个较方便的,判别法.,若函数项级数,在区间 I 上满足:,则函数项级数,在区间 I 上一致收敛 .,简介,2019/6/16,同济版高等数学课件,证:,由条件2), 根据柯西审敛原理,当,n N 时,对任意正整数 p , 都有,由条件1), 对 x I , 有,故函数项级数,在区间 I 上一致收敛 .,证毕,2019/6/16,同济版高等数学课件,推论.,若幂级数,的收敛半径 R 0 ,则此级,数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛
5、.,证:,则对 a , b 上的一切 x , 都有,由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数,绝对收敛 ,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立.,说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛,则一致收敛,区间可包含此端点.,证毕,2019/6/16,同济版高等数学课件,例3.,证明级数,在(, ) 上 一致收敛 .,证:,而级数,收敛,由维尔斯特拉斯判别法知所给级数,在(, )上 一致收敛 .,2019/6/16,同济版高等数学课件,说明:,维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收,敛性,而且能判别其绝对收敛性.,当不易观察到不等式,可利用导数求,例如, 级数,用求导法可得,已知,收敛,因此原级数在 0, )
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- 高等数学 课件 D126 一致 收敛
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