全国通用2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第12节导数与函数的极值最值教师用书文新人教A.doc
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1、第十二节导数与函数的极值、最值考纲传真1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)1函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,f(a)0,而且在点xa附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则点a叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,f(b)0,而且在点xb附近的左侧f(x)
2、0,右侧f(x)0,则点b叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值2函数的最值与导数的关系(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件如果在区间a,b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值(2)求yf(x)在a,b上的最大(小)值的步骤求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)函数的极大值一定比极小值大()(2)对可导函数f(x),f(x0)0是x0为极值点的充要条件()(3)函数的最大值不一定是
3、极大值,函数的最小值也不一定是极小值()(4)若实际问题中函数定义域是开区间,则不存在最优解()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f(x)在(a,b)内的图象如图2121所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内极小值点的个数为()图2121A1B2C3D4A导函数f(x)的图象与x轴的交点中,左侧图象在x轴下方,右侧图象在x轴上方的只有一个,所以f(x)在区间(a,b)内有一个极小值点3已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为yx381x234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件B11万
4、件C9万件D7万件Cyx281,令y0得x9或x9(舍去)当x(0,9)时,y0,当x(9,)时,y0,则当x9时,y有最大值即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件4(2016四川高考)已知a为函数f(x)x312x的极小值点,则a()A4B2C4D2D由题意得f(x)3x212,令f(x)0得x2,当x2时,f(x)0;当2x2时,f(x)0,f(x)在(,2)上为增函数,在(2,2)上为减函数,在(2,)上为增函数f(x)在x2处取得极小值,a2.5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_8y6x24x,令y0,得x0或x.f(1)4,f(0)0,f,f(2)8,最大值为8.利用
5、导数研究函数的极值问题角度1根据函数图象判断极值设函数f(x)在R上可导,其导函数为f(x),且函数y(1x)f(x)的图象如图2122所示,则下列结论中一定成立的是()图2122A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知,当x2时,f(x)0;当2x1时,f(x)0;当1x2时,f(x)0;当x2时,f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值,在x2处取得极小值角度2求函数的极值求函数f(x)xaln x(aR)的极值解由f(x
6、)1,x0知:(1)当a0时,f(x)0,函数f(x)为(0,)上的增函数,函数f(x)无极值;5分(2)当a0时,由f(x)0,解得xa.又当x(0,a)时,f(x)0;当x(a,)时,f(x)0,9分从而函数f(x)在xa处取得极小值,且极小值为f(a)aaln a,无极大值综上,当a0时,函数f(x)无极值;当a0时,函数f(x)在xa处取得极小值aaln a,无极大值.12分角度3已知极值求参数(1)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点,则实数a的取值范围是() 【导学号:31222087】A(,0)B.C(0,1)D(0,)(2)(2016广东肇庆三模)已知函数f(x)x3
7、ax23x9,若x3是函数f(x)的一个极值点,则实数a_.(1)B(2)5(1)f(x)x(ln xax),f(x)ln x2ax1,故f(x)在(0,)上有两个不同的零点,令f(x)0,则2a,设g(x),则g(x),g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减,又当x0时,g(x),当x时,g(x)0,而g(x)maxg(1)1,只需02a10a.(2)f(x)3x22ax3,由题意知x3为方程3x22ax30的根,3(3)22a(3)30,解得a5.规律方法利用导数研究函数极值的一般流程利用导数解决函数的最值问题(2017郑州模拟)已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)
8、的单调区间;(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解(1)由f(x)(xk)ex,得f(x)(xk1)ex,令f(x)0,得xk1.2分f(x)与f(x)的变化情况如下:x(,k1)k1(k1,)f(x)0f(x)单调递减ek1单调递增所以,f(x)的单调递减区间是(,k1);单调递增区间是(k1,).5分(2)当k10,即k1时,函数f(x)在0,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k,7分当0k11,即1k2时,由(1)知f(x)在0,k1)上单调递减,在(k1,1上单调递增,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1.当k11,即k2时,函数f(x)在0,
9、1上单调递减,所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.10分综上可知,当k1时,f(x)mink;当1k2时,f(x)minek1;当k2时,f(x)min(1k)e.12分规律方法求函数f(x)在a,b上的最大值、最小值的步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b);(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值变式训练1(2017石家庄质检(二)若a0,b0,且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值,若tab,则t的最大值为()A2B3 C6D9Df(x)12x22ax2b,则f(1
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