全国通用2018高考数学一轮复习第8章平面解析几何第5节椭圆教师用书文新人教A版2017041402.doc
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1、第五节椭圆考纲传真1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用1椭圆的定义(1)平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a,|F1F2|2c,其中a,c为常数且a0,c0.当2a|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆;当2a|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2;当2ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya
2、对称性对称轴:坐标轴;对称中心:原点顶点A1(a,0),A2(a,0),B1(0,b),B2(0,b)A1(0,a),A2(0,a),B1(b,0),B2(b,0)离心率e,且e(0,1)a,b,c的关系c2a2b21(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”)(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距)()(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆()(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)已知中心在
3、原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是()A.1B.1C.1D.1D椭圆的焦点在x轴上,c1.又离心率为,故a2,b2a2c2413,故椭圆的方程为1.3(2015广东高考)已知椭圆1(m0)的左焦点为F1(4,0),则m()A2B3C4D9B由左焦点为F1(4,0)知c4.又a5,25m216,解得m3或3.又m0,故m3.4(2016全国卷)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()A.B.C.D.B如图,|OB|为椭圆中心到l的距离,则|OA|OF|AF|OB|,即bca,所以e.5椭圆1的左焦点为F,直线xm与椭圆
4、相交于点A,B,当FAB的周长最大时,FAB的面积是_3直线xm过右焦点(1,0)时,FAB的周长最大,由椭圆定义知,其周长为4a8,即a2,此时,|AB|23,SFAB233.椭圆的定义与标准方程(1)如图851所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是() 【导学号:31222310】A椭圆B双曲线C抛物线D圆(2)设F1,F2分别是椭圆E:x21(0b|OF|.P点的轨迹是以O,F为焦点的椭圆(2)不妨设点A在第一象限,设半焦距为c,则F1(c,0),F2(c,0)AF2x轴,则A(
5、c,b2)(其中c21b2,0b|F1F2|这一条件(2)当涉及到焦点三角形有关的计算或证明时,常利用勾股定理、正(余)弦定理、椭圆定义,但一定要注意|PF1|PF2|与|PF1|PF2|的整体代换2求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法,具体过程是先定位,再定量,即首先确定焦点所在的位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,若焦点位置不确定,可把椭圆方程设为Ax2By21(A0,B0,AB)的形式变式训练1(1)已知F1,F2是椭圆C:1(ab0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且.若PF1F2的面积为9,则b_.(2)已知F1(1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴
6、的直线交C于A,B两点,且|AB|3,则C的方程为_(1)3(2)1(1)由定义,|PF1|PF2|2a,且,|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2,(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2,2|PF1|PF2|4a24c24b2,|PF1|PF2|2b2.SPF1F2|PF1|PF2|2b29,因此b3.(2)依题意,设椭圆C:1(ab0)过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|3,点A必在椭圆上,1.又由c1,得1b2a2.由联立,得b23,a24.故所求椭圆C的方程为1.椭圆的几何性质(2016全国卷)已知O为坐标原点,F是椭圆C:1(ab0)的左焦点
7、,A,B分别为C的左、右顶点P为C上一点,且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为()A.B.C.D.A法一:设点M(c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k,从而直线AM的方程为y(xa),令x0,得点E的纵坐标yE.同理,OE的中点N的纵坐标yN.2yNyE,即2a2cac,e.法二:如图,设OE的中点为N,由题意知|AF|ac,|BF|ac,|OF|c,|OA|OB|a.PFy轴,.又,即,a3c,故e.规律方法1.与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析2求椭圆离心率的主要方法有:(1)直接求出a,c的值,利用离心率公
8、式直接求解(2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2a2c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解变式训练2(2015福建高考)已知椭圆E:1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x4y0交椭圆E于A,B两点若|AF|BF|4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是()A.B.C.D.A根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A,B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a2(|AF|BF|)8,所以a2.又d,所以1b2,所以e.因为1b2,所以0b0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为. 【导学号:31222311】(1)求
9、椭圆E的离心率;(2)如图852,AB是圆M:(x2)2(y1)2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程图852解(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bxcybc0,则原点O到该直线的距离d,3分由dc,得a2b2 ,解得离心率.5分(2)由(1)知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M(2,1)是线段AB的中点,且|AB|.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk(x2)1,代入得(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)24b20.8分设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.由x1x24,得4,解得k.从而x1x282b2.10分于是|AB
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