2013数值分析课件.ppt
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1、计算数学,第1章 绪 论,内容提要: 1.1 数值分析研究对象与特点 1.2 数值计算的误差 1.3 误差定性分析与避免误差危害,1.1 数值分析研究对象与特点 一、数值分析研究对象 计算机解决科学计算问题时经历的过程,实际问题,模型设计,算法设计,问题的解,上机计算,程序设计,求,方程求根,牛顿法,程序设计,解,上机计算,实例,数值分析的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程数值解、数值线性代数、常微和偏微数值解等。数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性,著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数,简单调用之后便可以得到
2、运行结果。 但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法,因而掌握数值方法的思想和内容是至关重要的。 本课程内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方法,必须掌握这几门课程的基础内容才能学好这门课程。,二、数值分析的特点 面向计算机,要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法。 有可靠的理论分析,能任意逼近并达到精度要求,对近似算法要保证收敛性和数值稳定性,还要对误差进行分析。这些都是建立在数学理论的基础上,因此不应片面的将数值分析理解为各种数值方法的简单罗列和堆积。 要有好的计算复杂性,时间复杂性好是指节省时间,空间复杂性好是指节
3、省存储量,这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。 要有数值实验,即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外,还要通过数值实验证明是行之有效的。,三、数值分析的学习方法 初学可能仍会觉得公式多,理论分析复杂。给出如下的几点学习方法。 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本任务,主动适应公式多和讲究理论分析的特点。 注重各章节所研究算法的提出,掌握方法的基本原理和思想,要注意方法处理的技巧及其与计算机的结合。 理解每个算法建立的数学背景、数学原理和基本线索,而且对一些最基本的算法要非常熟悉。 要通过例子,学习使用各种数值方法解决实际计算问题。 为掌握本课的内容,还应做一些
4、理论分析和计算练习。,1.2 数值计算的误差,一、误差的来源 在运用数学方法解决实际问题的过程中,每一步都可能带来误差。 1、模型误差 在建立数学模型时,往往要忽视很多次要因素,把模型“简单化”,“理想化”,这时模型就与真实背景有了差距,即带入了误差。 2、测量误差 数学模型中的已知参数,多数是通过测量得到。而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差。,3、截断误差 数学模型常难于直接求解,往往要近似替代,简化为易于求解的问题,这种简化带入误差称为方法误差或截断误差。,4、舍入误差 计算机只能处理有限数位的小数运算,初始参 数或中间结果都必须进行四舍五入运算
5、,这必然产生舍入误差。,误差分析是一门比较艰深的专门学科。在数值分析中主要讨论截断误差及舍入误差。但一个训练有素的计算工作者,当发现计算结果与实际不符时,应当能诊断出误差的来源,并采取相应的措施加以改进,直至建议对模型进行修改。 二、绝对误差、相对误差与有效数字 1、绝对误差与绝对误差限,误差是有量纲的量,量纲同 x,它可正可负。 误差一般无 法准确计算,只能根据测量或计算情况估计出它的绝对值的一 个上界,这个上界称为近似值 x* 的误差限,记为*。,2、相对误差与相对误差限,3、有效数字 定义3令x是某个数量的真值,x*是x的近似值;x与x*都用十进制表示。有效数字就是指x与x*的多少位数字
6、是一致的。确切地说, x*有x的m位有效数字,则从x的左端非零数字所在位起,绝对误差x* 的前m个十进制数位为0,随后一位数字取值从0到5,4、绝对误差,相对误差与有效数字的关系 绝对误差与相对误差:由两者定义可知。,绝对误差与有效数字: 绝对误差不超过末位有效数字的半个单位。,有效数字与相对误差限,定理说明有效数位越多,相对误差限越小。定理也给出了 相对误差限的求法。,三、数值运算的误差估计 1、四则运算,2、函数误差 当自变量有误差时计算函数值也产生误差,可以利用函数的泰勒展开式进行估计。,1.3 误差定性分析与避免误差危害 一、病态问题与条件数 1、病态问题:对一个数值问题本身如果输入数
7、据有微小扰动(即误差),引起输出数据(即问题解)相对误差很大,就是病态问题。,二、算法的稳定性 用一个算法进行计算,由于初始数据误差在计算中传播使计算结果误差增长很快就是数值不稳定的,先看下例。,计算结果:,n,法一 (A),法二 (B),0 1 2 3 4 5 6 7 8 9,0.6321 0.3679 0.2642 0.2074 0.1704 0.1480 0.1120 0.2160 -0.7280 7.552,0.6321 0.3679 0.2643 0.2073 0.1708 0.1455 0.1268 0.1121 0.1035 0.0684,三、避免误差危害的若干原则 1、要避免除
8、数绝对值远远小于被除数绝对值的除法。 用绝对值小的数作除数舍入误差会增大,如计算 x/y, 若0|y|x|,则可能对计算结果带来严重影响,应尽量避 免。,2、要避免两相近数相减 在数值中两相近数相减有效数字会严重损失。 例如,x=532.65,y=532.52都具有五位有效数字,但 x - y=0.13只有两位有效数字。通过改变算法可以避免两相近 数相减。,3、要防止“大数”吃掉小数 数值运算中参加运算的数有时数量级相差很大,而计算机位数有限,如不注意运算次序就可能出现大数“吃掉”小数的现象,影响计算结果的可靠性。 如用六位浮点数计算某市的工业总产值,原始数据是各企业的工业产值,当加法进行到一
9、定程度,部分和超过100亿元 (0.11011),再加产值不足10万元的小企业产值,将再也加不进去。而这部分企业可能为数不少,合计产值相当大.这种情况应将小数先分别加成大数,然后相加,结果才比较正确。这个例子告诉我们,在计算机数系中,加法的交换律和结合律可能不成立,这是在大规模数据处理时应注意的问题。,4、注意简化计算步骤,减少运算次数 减少算术运算的次数不但可计算机的计算时间,还能减少误差的积累效应。使参加运算的数字精度应尽量保持一致,否则那些较高精度的量的精度没有太大意义。,误差及算法,误差,算法,数值稳定性概念,算法设计注意要点,分类,度量,传播,舍入误差的产生及定义,截断误差的产生及定
10、义,绝对误差(限),相对误差(限),有效数字,三者的联系,一元函数,n元函数,计算函数值问题的条件数,二元算术运算,知 识 结 构 图 一,第2章 插 值 法,内容提要 2.1 引言 2.2 拉格朗日插值 2.3 均差与牛顿插值公式 2.4 埃尔米特插值 2.5 分段低次插值 2.6 三次样条插值,2.1 引言 许多实际问题都用函数 y=f(x) 来表示某种内在规律的数量关系。若已知 f(x) 在某个区间 a,b 上存在、连续,但只能给出 a,b 上一系列点的函数值表时,或者函数有解析表达式,但计算过于复杂、使用不方便只给出函数值表(如三角函数表、对数表等)时,为了研究函数的变化规律,往往需要
11、求出不在表上的函数值。因此我们希望根据给定的函数表做一个既能 反映函数 f(x) 的特性,又便于计算的简单函数 P(x),用 P(x) 近似 f(x)。这就引出了插值问题。,1、提出问题(插值法的定义),2、几何意义、外插、内插,P(x) f(x),x* (外插),x0,x1,x (内插),x2,x3,P(x*) f(x*),3、插值的种类 选取不同的函数族构造 P(x) 得到不同类型的插值 若 P(x) 是次数不超过 n 的代数多项式,就称为多项式插值; 若 P(x) 为分段的多项式,就称为分段插值; 若 P(x) 为三角多项式,就称为三角插值。 本章只讨论多项式插值与分段插值。主要研究内容
12、为如何求出插值多项式,分段插值函数;讨论插值多项式 P(x) 的存在唯一性、收敛性及估计误差等。 4、多项式插值问题,插值多项式的存在唯一性,定理1 (存在唯一性) 满足插值条件的不超过 n 次的插值多项式是存在唯一的。,2.2 拉格朗日插值 一、线性插值与抛物插值 1、线性插值,2、抛物插值,求解基函数,二、拉格朗日插值多项式 上面针对 n=1 和 n=2 的情况,得到了一次和二次插值多项式,这种用基函数表示的方法很容易推广到一般情况。下面讨论如何构造 n+1 个节点的 n 次插值多项式。,定理表明: (1) 插值误差与节点和点 x 之间的距离有关, 节点距离 x 越近,插值误差一般情况下越
13、小。 (2) 若被插值函数 f(x) 本身就是不超过 n 次的多项式, 则有 f(x)g(x)。,3、应用举例,用二次插值计算 ln(11.25) 的近似值,并估计误差。,例2-2 给定函数值表,在区间10,12上lnx 的三阶导数 (2/x3) 的上限 M3=0.002, 可得误差估计式,注:实际上,ln(11.25)=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058,0,?,分析:求解如上问题等价于求解x关于y的反函数问题。,2.3 均差与牛顿插值公式 一、均差及其性质 问题的引入:拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,理论分析方便,但插值节点增减时全部插值及函数均要随之变化,实际
14、计算不方便,希望把公式表示为如下形式。,1、均差定义,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,2、均差的基本性质,均差计算表,例如 由函数y=(x)的函数表写出均差表.,解 均差表如下,二、牛顿插值公式,解 由差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3, x0,x1,x2,x3=-1,于是有,N1(x)=5-2(x+2)=1-2x N2(x)=1-2x+3(x+2)(x+1)=3x2+7x+7 N3(x)=3x2+7x+7-(x+2)(x+1)(x-1)=-x3+x2+8x+9,例2-6 对例如中的 (x),求节点为 x0,x1 的一次插值,x0,x1,x2 的二次插值和 x0,x1,x2
15、,x3 的三次插多项式.,例2-7 给出 f(x) 的函数表,求4次牛顿插值多项式,并计算f(0.596) 的近似值。,2.4 埃尔米特插值 不少实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等,而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特(Hermite)插值多项式。,y=L10(x),y=L10(x),解法二(用重节点的均差表建立埃尔米特多项式),2.5 分段低次插值 一、高次插值的病态性质 一般总认为Ln(x)的次数n越高逼近f(x)的精度越好,但实际上并非如此。这是因为对任意的插值节点,当n-时, Ln(x)不一定收敛于f(x)。20世纪初龙格(R
16、unge)就给了一个等距节点插值多项式Ln(x)不一定收敛于f(x)的例子。,y=L10(x),x,1,y=L10(x),o,-1,0.5,y,1.5,1,龙格现象,二、分段线性插值 分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近f(x).,分段线性插值,三、分段抛物插值,三、分段抛物插值,2.6 三次样条插值 样条曲线实际上是由分段三次曲线并接而成,在连接点即样点上要求二阶导数连续,从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。 一、三次样条函数,y=L10(x),每个小区间上要确定4个待定系数,共有n个小区间,故应 确定4n个参数。,y=L10(x),二、三次样
17、条插值函数的建立,y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),y=L10(x),系数矩阵为严格对角占优阵,方程组有为一解。求法见5.3节 追赶法。,y=L10(x),y=L10(x),知 识 结 构 图 二,插值法,工具,分段多项式插值,存在唯一性,多项式插值,Hermite插值,插值公式,误差估计,差商、差分,Lagrange插值基及函数,定义 性质,定义 性质,导数型 差商型,Lagrange插值多项式 Newton插值多项式 等距节点插值公式,存在唯一性 误差估计 插值公式,分段线性插值(公式、误差估计、收敛性),分段三次Hermite插值(公式、误差估 计、收敛性),三次样条
18、插值(公式、存在唯一 性、误差估计、收敛性),第三章函数逼近,内容提要 3.1 基本概念 3.2 最佳平方逼近 3.3 曲线拟合的最小二乘法,3.1基本概念,x0,x3,x5,x7,x1,x4,x6,x2,f(x),p(x),2、范数与赋范线性空间,3、内积与内积空间,1、最佳平方逼近,3.2 最佳平方逼近,一、最小二乘法及其计算,3.3 曲线拟合的最小二乘法,例3-3 已知实测数据表如下,求它的拟合曲线,例3-4 已知实测数据表如下,确定数学模型 y=aebx, 用最小二乘法确定a,b。,分析:根据给定数据描图也可确定拟合曲线方程,但它不是 线性形式。因此首先要将经验曲线线性化。本题可以采取
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