6132自回归过程ARp.ppt
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1、13.2 自回归过程 AR( p ) 如果预测是分析的目的,那么,随机过程的元素 对它的过去的依赖性就很重要。这使我们能够利用 已经收集的样本观测值的过去信息预测变量的未来 值。存在这种依赖性的简单例子是自回归过程: yt = yt-1+ ut (13.2.1) 便是这样一种过程,其中ut为白噪声。,时间序列y1,y2 ,yn生成过程通常是未知的, 它可能比简单自回归过程(13.2.1)更复杂,例如, yt不 仅依赖yt-1,而且还依赖于yt-2等。更一般地,这个过 程有以下形式: (13.2.2) 其中ut为白噪声,(13.2.2)称为p阶自回归 (Autoregressive)过程,记作A
2、R( p )。据此,(13.2.1) 便是一阶自回归过程AR(1)。,一、自回归过程的平稳条件 只有产生时间序列的随机过程是平稳的,用自回归 模型进行预测才有意义。因此,我们首先应研究自 回归过程的平稳条件。 (一) 一阶自回归过程 对于一阶自回归过程(13.2.1) yt = yt-1 +ut = ut +(yt-2 +ut-1) = ut +ut-1 +2(yt-3 +ut-2) = ut +ut-1 +2 ut-2 +3 yt-3 = ut +ut-1 +2 ut-2 +3 ut-3 + (13.2.3),可以看到,一阶自回归过程(13.2.1)可以表示成白噪 声序列的线性组合。 由于E
3、(ut) = 0,所以E(yt) = 0,平稳条件1显然满足。 对(13.2.3)两端取方差: V(yt) = (13.2.4) 仅当|1时,(13.2.4)才有 (13.2.5) 表明,只有当|1时,平稳条件2才成立。,由(13.2.3)有 (13.2.3) (13.2.6),当|1时,(10.2.6)便有 (10.2.7) 其中 。,(10.2.7)式表明, 仅与间隔时期数k有关, 而与时间点t无关,平稳条件3成立。 综上所述,对于一阶自回归过程(10.2.1),只要系数 的绝对值1,便是平稳过程。,(二) p阶自回归过程 将(13.2.2)改写成 (13.2.8) 引进算符多项式: (1
4、3.2.9),则(13.2.8)可改写成: 或 (13.2.10) 若(13.2.2)是平稳随机过程,则必定收敛,即yt可表 示为白噪声的无穷加权和。可以证明 ,收敛 的充要条件是算符多项式 的特征方程 (13.2.11),的根全部在复平面上单位圆周之外,或所有根的模 z1。,即p阶自回归过程的平稳条件为 (13.2.12) z1和z2分别为实部和虚部。 当 p = 1时,(13.2.11)写成 1- z = 0 解方程得 ,,则平稳条件: 即1 同前面的结论相同。,为了研究方便,如果不作特殊说明,本章总是假定: 1.所有自回归过程都是平稳过程。 当发现时间序列是非平稳的,要清除非平稳性,一
5、般采用差分法。只要对原始数据进行适当阶数的差 分处理,便可消除非平稳性。 2.自回归过程中每个元素的期望值都为0即E(yt)= 0。 如果实际的时间序列的均值 ,则可对它进行中 心化 ,中心化后的时间序列必然有零期望 值。,二、自回归过程的自相关函数 一阶自回归过程AR(1)的自相关函数,利用(13.2.7)可 直接写出 (13.2.13) AR(p)的自相关函数由于 (13.2.14),将(10.2.2)代入(10.2.14)得 (10.2.15),当k = 0时, (13.2.16) 对AR(1)便有 (13.2.17),再由(10.2.15)有 (13.2.18),把(10.2.18)代
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