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1、C1.1 随机事件 C1.2 概率的计算 C1.3 条件概率 独立性 习题课C1,C1 概率及其运算,C1.1 随机事件,一、随机现象与随机试验 二、样本空间与随机事件 三、事件间的关系与运算,一、随机现象与随机试验,1、随机现象,带有随机性、偶然性的现象,特点:,当人们在一定的条件下对它加以观察或进行试验时,观察或试验的结果是多个可能结果中的某一个. 而且在每次试验或观察前都无法确知其结果,即呈现出偶然性. 或者说,出现哪个结果“凭机会而定”.,在一定条件下对随机现象进行大量观测会发现某种规律性.,例如: 一门火炮在一定条件下进行射击,个别炮弹的弹着点可能偏离目标而有随机性的误差,但大量炮弹
2、的弹着点则表现出一定的规律性,如一定的命中率,一定的分布规律等等.,随机现象的规律性,又如: 在一个容器内有许多气体分子,每个气体分子的运动存在着不定性,无法预言它在指定时刻的动量和方向. 但大量分子的平均活动却呈现出某种稳定性,如在一定的温度下,气体对器壁的压力是稳定的,呈现“无序中的规律”.,从表面上看,随机现象的每一次观察结果都是随机的,但多次观察某个随机现象,便可以发现,在大量的偶然之中存在着必然的规律.,概率论的研究对象 随机现象的统计规律性,随机现象有其偶然性的一面,也有其必然性的一面,这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性,称为随机现象的统计规律性. 概率论正是研
3、究随机现象统计规律性的一门学科.,这里试验的含义十分广泛,它包括各种各样的科学实验,也包括对事物的某一特征的观察。 其典型的例子有:,2、随机试验(Experiment ),研究随机现象,首先要对研究对象进行观察试验. 这里的试验,指的是随机试验.,E5:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 E7:记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。,随机试验,E1:抛一枚硬币,观察正面H(Heads)、反面T (Tails)出现的情况。 E2 :将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。 E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数。 E4:抛一颗骰子,观
4、察出现的点数。,从观察试验开始,这些实验具有以下特点: 可以在相同的条件下重复进行; 每次实验的可能结果不止一个,并且能事先明确实验的所有可能结果; 进行一次实验之前不能确定哪一个结果会出现。,二、样本空间与随机事件,定义 将随机试验 E 的所有可能结果组成的集合 称为 E 的样本空间, 记为 S 或。,称试验 E 的样本空间 S 的子集为 E 的随机事件;常用集合记号如A,B等表示。 基本事件 : 有一个样本点组成的单点集; 必然事件 : 样本空间 S 本身; 不可能事件 : 空集。,样本空间的元素,即 E 的每个结果,称为样本点。,S1 : H , T S2 : HHH, HHT, HTH
5、, THH, HTT, THT, TTH, TTT S3 : 0, 1, 2, 3 S4 : 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,E1:抛一枚硬币,观察正面H(Heads)、反面T (Tails)出现的情况。 E2 :将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。 E3:将一枚硬币抛掷三次,观察出现正面的次数。 E4:抛一颗骰子,观察出现的点数。,S5 : 0,1,2,3 S6 : t | t 0 S7 : ( x , y ) | T 0 x , y T1 ,E5:记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。 E7:记录某地一昼夜的最高温度和最高温度。,
6、例如:S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT 表示 “第一次出现的是正面” S6 中事件 B1=t|t1000 表示 “灯泡是次品” 事件 B2=t|t 1000 表示 “灯泡是合格品” 事件 B3=t|t1500 表示“灯泡是一级品”,称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现,10 包含关系,20 和事件,30 积事件,40 差事件,50 互不相容,60 对立事件,三 、事件间的关系与运算,S2 中事件 A=HHH,HHT,HTH,HTT, B=HHH,TTT,20 和事件,30 积事件,S,A,B,A,S,40 差事件,A,B,S,B,50 互不相容,A,S,A
7、,60 对立事件,S,A,B,随机事件的运算规律,幂等律:,交换律:,结合律:,分配律:,De Morgan定律:,C1.2 概率的计算,一、频率与概率 二、概率的定义与性质 三、等可能概型(古典概型) 四、几何概型,一 、 频率与概率,例如 若我们希望知道某射手中靶的概率,应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.,若他射击n发,中靶m发,当n很大时,可用频率m/n作为他中靶概率的估计.,1. 频率的定义和性质,定义 在相同的条件下,进行了n 次试验, 在这 n 次试验中,事件 A 发生的次数 nA 称为 事件 A 发生的频数。比值 n A / n 称为事件 A 发生的频率,并记成
8、fn(A) 。,性质:,考虑在相同条件下进行的S 轮试验.,事件A在各轮试验中频率形成一个数列,我们来说明频率稳定性的含义.,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小. 尽管每进行一连串(n次)试验,所得到的频率可以各不相同,但只要 n相当大,频率与概率是会非常接近的.,因此,概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似.,频率,概率,这种确定概率的方法称为频率方法.,在实际中,当概率不易求出时,人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值,,关于频率和概率的关系,需要强调以下事实:,对于较大的n,n次试验中事件A的频率,一般与事件A的概率P相差不大,试验次数n越大,频率与概率
9、有较大偏差的情形就越少见.,概率是频率稳定性的依据,是随机事件规律的一个体现 .,实际中,当概率不易求出时,人们常通过作大量试验,用事件出现的频率去近似概率.,它的理论依据我们将在最后介绍.,251 249 256 253 251 246 244 0.502 0.498 0.512 0.506 0.502 0.492 0.488 0.002 -0.002 0.012 0.006 0.002 -0.008 -0.012,投硬币正反面说明 频率的稳定性,nA fn(A),n=500时,实 验 者 德摩根 蒲 丰 K 皮尔逊 K 皮尔逊,n nH fn(H),2048 4040 12000 2400
10、0,1061 2048 6019 12012,0.5181 0.5096 0.5016 0.5005,频率稳定性,高尔顿钉板试验,小球在高尔顿板中的分布规律 .,高尔顿板实验,. . . . . . .,记左图所示正方形的面积为 ,其中的四分之一圆围成的区域为A.,现向区域 随机投点n次,由几何方法可计算得,利用频率和概率的关系,当 n充分大时,,于是,计算PI的概率(频率)方法:,频 率 稳定值 概率,事件发生 的频繁程度,事件发生 的可能性的大小,频率的性质,概率的公理化定义,定义 设 E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于 E 的每一个事件 A 赋予一个实数,记为 称为事件 A 的概率
11、,要求集合函数 满足 下列条件:,二、概率的定义与性质,概率的性质,重要推广:,加法公式的推广,生活中有这样一类试验,它们的共同特点是: 样本空间的元素只有有限个; 每个基本事件发生的可能性相同。,比如:足球比赛中扔硬币挑边,围棋比赛中猜先。,我们把这类实验称为等可能概型, 考虑到它在概率论早期发展中的重要地位,又把它叫做古典概型。,三、等可能概型(古典概型),设 S =e1, e2, en , 由古典概型的等可能性,得,又由于基本事件两两互不相容;所以,若事件 A 包含 k 个基本事件,即 A =e1, e2, ek , 则有 :,例 1 将一枚硬币抛掷三次。设:事件 A1为“恰有一次出现正
12、面”,事件 A2为“至少有一次出现正面”,求 P (A1 ), P (A2 )。,解:根据前面的记号,E2 的样本空间 S2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH,TTT, n = 8,即 S2 中包含有限个元素,且由对称性 知每个基本事件发生的可能性相同,属于古典概型。, A1为“恰有一次出现正面”, A1=HTT, THT, TTH, 事件 A2为“至少有一次出现正面”,,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,例 2 一口袋装有 6 只球,其中 4 只白球、2 只红球。 从袋中取球两次,每次随机的取一只。 考虑两种取球方式
13、: 放回抽样 第一次取一只球,观察其颜色后放回袋中, 搅匀后再取一球。 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中,第二次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求:,1)取到的两只都是白球的概率; 2)取到的两只球颜色相同的概率; 3)取到的两只球中至少有一只是白球的概率。,解:从袋中取两球,每一种取法就是一个基本事件。 设 A= “ 取到的两只都是白球 ”,A1=“取到的都是红球”; B= “ 取到的两只球颜色相同 ” C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。,有放回抽取:,无放回抽取:,例 3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去,求每个盒子至多有一只球的概率。 (设盒子的
14、容量不限),解: 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有,而每个盒子中至多放一只球, 共有,问题改为: 求至少有一只盒子里有两个以上的球的 概率。,此例可以作为许多问题的数学模型,比如 用此公式可以得出:,n P,20 23 30 40 50 64 100,0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997,考虑N=365, 经计算可得下述结果:,“在一个有64人的班级里,至少有两人同生日” 的概率为 99.7%。,例4 设有 N 件产品,其中有 D 件次品,今从中任 取 n 件,问其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,又在D件次品中取
15、k 件,所有可能的取法有,在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,解:在 N 件产品中抽取 n 件,取法共有,由乘法原理知:在 N 件产品 中取 n 件,其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率为:,此式即为超几何分布的概率公式。,2) 有放回抽样,从N件产品中有放回地抽取n件产品进行排列,可能的排列数为 个,将每一排列看作基本事件,总数为 。,而在 N 件产品 中取 n 件,其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率为:,此式即为二项分布的概率公式。,例5 在 12000 的整数中随机的取一个数,问取到的整数既不能被 6 整除,又不能被 8 整除的概率是多少?,解:设
16、A 为事件“取到的整数能被 6 整除”,,B 为“取到的整数能被 8 整除”,,为:6,12,181998 共 333 个,,所以能被 6 整除的整数,则所求的概率为:,AB 为“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,于是所求的概率为:,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ,,例 6 魔法学院假如将 15 名新生随机地平均分配到葛来芬多、斯莱特林、拉文克劳3 个学院中去,这 15 名新生中有 3 人是哈利波特、榮恩与妙麗 。问: (1)他们3 人被分配到3 个不同的学院的概率是多少? (2)他们3 人被分配到同一个学院的概率是多少?,解:1
17、5名新生平均分配到 3 个学院中去的分法总数为:,(1) 将哈利波特、榮恩与妙麗分配到 3 个学院,使每个学院都有一人的分法共有 3! 种。,他们3 人被分配到3 个不同的学院的分法总数为:,于是所求的概率为:,其余 12 名新生平均分配到 3 个学院中的分法共有,三人分配在同一学院内,其余12名新生,一个学院分2名,另外两学院各分5名,(2)哈利波特、榮恩与妙麗分配到同一个学院的概率为:,例 7 某接待站在某一周曾接待过 12 次来访,已知所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的。问是否可以推断接待时间是有规定的?,解:假设接待站的接待时间没有规定,各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能
18、的,那么,12 次接待来访者都在周二、周四的概率为:,212/712=0.0000003,即千万分之三。,人们在长期的实践中总结得到“概率很小的事件在一次实验中几乎是不发生的”(称之为实际推断原理)。 现在概率很小的事件在一次实验中竟然发生了,从而推断接待站不是每天都接待来访者,即认为其接待时间是有规定的。,几何概型考虑的是有无穷多个、等可能结果的随机试验。,四、几何概型,首先看下面的例子:,会面问题,例1,甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内,在预定,地点会面.,先到的人等候另一个人,经过时间 t,( tT ) 后离去.,设每人在0 到T 这段时间内各时刻到,达该地是等可能的 ,且两人到
19、达的时刻互不牵连.,求甲、乙两人能会面的概率.,解,刻,那么,两人会,面的充要条件,若以 x, y 表示平面上点的坐标 ,则,故所求的概率为,一般,设某个区域 D (线段,平面区域,空间区域),具有测 度 mD(长度,面积,体积)。如果随机实验 E 相当于向区域内任意地取点,且取到每一点都是等可能的,则称此类试验为 几何概型。 如果试验 E 是向区域内任意取点,事件 A 对应于点落在 D 内的某区域 A,则,C1.3 条件概率 独立性,一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式和贝叶斯公式 四、独立性,一、条件概率,例1,将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反面的情况.,次掷出同一面”.,分析,将
20、事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率记为,同理可得,为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.,定义,称,条件概率的性质:,例2,一个盒子装有4只产品,其中有3只一等品,二等品.,从中取产品两次,每次任取一只,作不放,回抽样.,试求条件概,解,此为古典概型问题.,先将产品编号,1,2,3号为,一等品;,4号为二等品.,第二次,1只,由定义,得条件概率,故可得,二、乘法定理,乘法定理,则有,推广,则有,一般,且,则有,例3,每次自袋中任,取一只球,观察其颜色然后放回,取出的那只球同色的球.,若在袋中连续取球四次,试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的概率.,解,所求概率为,波
21、利亚传染病数学模型,例3 袋中有一个白球与一个黑球,现每次从中取出一球,若取出白球,则除把白球放回外再加进一个白球,直至取出黑球为止求取了n次都未取出黑球的概率,则,由乘法公式,我们有,解:,例 4 设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为 1/2 ,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为 7/10 ,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为 9/10 。求透镜落下三次而未打破的概率。,解:以 Ai ( i=1,2,3 ) 表示事件“透镜第 i 次落下打破”, 以 B 表示事件“透镜落下三次而未打破”,有:,1. 样本空间的划分,三、全概率公式与贝叶斯公式,定义,若,定理,则,
22、称为全概率公式.,2.全概率公式,得到,证,因为,说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果.,图示,化整为零各个击破,例5,有一批同一型号的产品,,已知其中由一厂生,产的占 30%,,二厂生产的占 50%,,三厂生产的占,20%,,又知这三个厂的产品次品率分别为2%, 1%,1%,问从这批产品中任取一件是次品的概率是多,少?,解,设事件 A 为“任取一件为次品”,30%,20%,50%,2%,1%,1%,由全概率公式得,定理,则,此式称为贝叶斯公式.,3. 贝叶斯公式,那么,全概率公式和贝叶斯公式变为
23、,证,由条件概率的定义及全概率公式得,例6,某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件,制造厂提供的.,根据以往的记录有以下的数据,设这三家工厂的产品在仓库是均匀混合的,且无区,别的标志.,(1) 在仓库中随机地取一只元件,求它是,次品的概率;,(2) 在仓库中随机地取一只元件,若已,知取到的是次品,为分析此次品出自何厂,需求出,此次品由三家工厂生产的概率分别是多少.,试求这,些概率.,解,而且有,易知,(1) 由全概率公式,(2) 由贝叶斯公式,以上结果表明,这只次品来自第2家工厂的可能性,最大.,例7,对以往数据分析结果表明,当机器调整良好时,产品的合格率为98%,而当机器发生某种故障时,其合
24、格率为55%.,每天早上机器开动时,机器调整,良好的概率为95%.,试求已知某日早上第一件产品,是合格品时,机器调整良好的概率是多少?,解,整良好”.,已知,由贝叶斯公式,这就是说,当生产出的第一件产品是合格品时,此,时机器调整良好的概率为0.97.,上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫做先验概率.,而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做后验概率.,先验概率与后验概率,例8,根据以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具,有如下效果:,现在对自然人群进行普查,设被试验的人患有癌症的概率为0.005,解,由贝叶斯公式,本题结果表明,这两个概率都比较高.,但若将此试验用于普查
25、,则有,亦即正确性只有8.7%.,如果不注意,这一点,将会得出错误的诊断.,四、事件的相互独立性,则有,1. 引例,袋中有 a 只黑球,b 只白球每次从中取出一球,取后放回令:A= 第一次取出白球 ,B= 第二次取出白球 ,,由,取后放回,这表明,事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的,即事件 A 与 B 呈现出某种独立性事实上,由于是有放回摸球,因此在第二次取球时,袋中球的总数未变,并且袋中的黑球与白球的比例也未变,这样,在第二次摸出白球的概率自然也未改变,袋中有 a 只黑球,b 只白球每次从中取出一球, 取后不放回令:A= 第一次取出白球 , B= 第二次取出白球 ,则
26、,这表明,事件 A 与事件 B 不相互独立事实上,由于是不放回摸球,因此在第二次取球时,袋中球的总数变化了,并且袋中的黑球与白球的比例也发生变化了,这样,在第二次摸出白球的概率自然也应发生变化或者说,第一次的摸球结果对第二次摸球肯定是有影响的,由此,我们引出事件独立性的概念,事件 A 与 事件 B 相互独立,说明,2.定义,如果满足等式,容易知道,与事件 B 发生的概率无关.,是指事件 A 的发生,事件独立性的性质:,1)如果事件A 与 B 相互独立,而且,2)必然事件S与任意随机事件A相互独立; 不可能事件与任意随机事件A相互独立,3)若随机事件 A 与 B 相互独立,则,也相互独立.,证:
27、为方便起见,只证,相互独立即可,由于,注意:在实际应用中,对于事件的独立性,我们往往不是根据定义来判断,而是根据实际意义来加以判断的。具体的说,题目一般把独立性作为条件告诉我们,要求直接应用定义中的公式进行计算。,两事件相互独立,两事件互斥,例如,由此可见两事件相互独立,但两事件不互斥.,两事件相互独立与两事件互斥的关系.,请同学们思考,由此可见两事件互斥但不独立.,结论: 设事件 A 与 B 满足: 若事件 A 与 B 相互独立,则 AB;若 AB =,则事件 A 与 B 不相互独立.,证:,若AB =,所以,但是,由题设,这表明,事件 A 与 B 不相互独立,说明: 互不相容与相互独立不能
28、同时成立。,注意,三个事件相互独立,三个事件两两相互独立,3. 三事件相互独立的概念,定义,n 个事件相互独立,n个事件两两相互独立,推广,证明,几个重要定理,相互独立,反之亦然.,则下列各对事,件也相互独立.,证,因为,于是,两个推论,1。,件,2。,则,例1,观察正反面,出现的情况”.,由题意,甲币是否出现正面与乙币是否出现,正面是互不影响的.,例2,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为元件,(或系统)的可靠性.,如下图,设有4个独立工作的元,件1,2,3,4按先串联再并联的方式联接.,试求系统的可靠性.,故有,由事件的独立性,得系统的可靠性,解,作”,系统由两条线路I和II组成.,当且
29、仅当至少有一,条线路中两个元件均正常工作时,系统才正常工作,例3,要验收一批(100件)乐器.,验收方案如下:,自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试,是相互独立的),如果3件中至少有一件在测试中被,认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收.,设一件,音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率,为0.95;,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯,的概率为0.01.,如果已知这100件乐器中恰有4件是,音色不纯的.,试问这批乐器被接收的概率是多少?,已知一件音色纯的乐器,经测试被认为音色纯的概,率为 0.99,而一件音色不纯的乐器,经测试被认为,音色纯的概率为0.05,并且三件乐器的测试是相互,独立的,于是有,解,故,而,例4,甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局甲胜的概率,问对甲而言,采取三局两胜制有利,还是五局三胜制有利.,设各局胜负相互独立.,解,“甲甲”,“乙甲甲”,“甲乙甲”;,“甲乙甲甲”,“乙甲甲甲”,“甲甲乙甲”;,
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