Ch1n阶行列式.ppt
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1、1,线性代数与空间解析几何,哈工大数学系代数与几何教研室,国家精品课,2,学时:64 +32学时 成绩: 100 分 平时: 30分,期末: 70 分.,线性代数与解析几何,序言,3,线性代数的应用:有很多实际问题,都 可以转成线性代数的方法去解决.在工程学、计算机科学、物理学、数学、生物学、密码学、经济学和统计学中都有很多应用.,线性代数的重要性:线性代数与微积分是大学数学基础课.无论这样评价其重要性都不为过。而学好这些数学基础课程,将受益终生.,4,一、教学内容 线性代数 ( 抽象) 为了解决多变量问题 形成的学科. (代数为几何提供了便利 的研究工具, 几何为代数 提供了直观想象的空间)
2、 . 解析几何 ( 直观),5,二、课程特点,内容抽象 概念多,符号多 计算原理简单但计算量大 证明简洁但技巧性强 应用广泛,6,掌握三基基本概念 ( 定义、符号) 基本理论 ( 定理、公式) 基本方法 ( 计算、证明) 提前预习体会思路 多动手,勤思考深入体会思想方法 培养自学能力,独立分析问题能力 和独立解决问题的能力,三、学习方法,7,线性代数与空间解析几何,第一章 n 阶行列式,哈工大数学系代数与几何教研室,王宝玲,2007.9,8,本章主要内容,行列式的定义 行列式的性质 行列式的计算 Cramer法则,9,设二元线性方程组为,1.1.1 二阶和三阶行列式,其中,行列式是一种算式,是
3、根据线性方程组求解的需要引进的.也是一个基本的数学工具,有很多工程技术和科学研究问题的解决都离不开行列式.,1.1 n阶行列式,10,对方程组用加减消元法求出解:,此解不易记忆,因此有必要引进新的 符号“行列式”来表示解,如果定义二阶行列式如下(对角线法则):,+,11,当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为:,12,解,则方程组的解为,例1 求解方程组,由于,13,如果定义三阶行列式如下(对角线法则) :,那么对三元一次方程组,在系数行列式 D 0 时,方程组有唯一解,其解可表示为:,14,其中,例2,15,问题1:怎样定义n阶行列式?,定义 由1,2, , n 组成的有序数
4、组称 为一个 n阶 ( 全) 排列, 一般记为:,例如 自然数1 ,2 ,3 的排列共有六种.,例如 12 n 是一个n阶排列,叫自然排列.,1.1.2 全排列的逆序数、对换,16,在一个排列 中,如果一个大,数排在小数的前面,则称这两个数构 成一个逆序.一个排列的逆序总数称 为逆序数,表示为,如果,为偶数,则称为偶排列.,为奇数,则称为奇排列.,定义,如果,17,例3,因为,所以 23541 是一个奇排列.,例4,18,对换: 在一个排列中互换两个数位置的 变动(其它数不动).,对换改变排列的奇偶性.,需要进行 2s+1 次相邻对换.,证,(1)相邻对换,(2)不相邻对换,定理1.1,所以对
5、换改变排列的奇偶性.,19,奇排列 s 个,偶排列 t 个,(1,2)对换,(1,2)对换,证,全部 n(2)阶排列中奇偶排列 各占一半.,推论,20,用排列观点总结三阶行列式:,1.1.3 n 阶行列式的定义,21,定义,记一阶行列式,n阶行列式定义:,22,由 个元素组成; 为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排 列的奇偶性决定.,归纳如下:,注 用定义只能计算一些简单的行列式.,23,证明对角形行列式,上(下)三角形行列式都等于其主对角元素的乘积, 即,例5,24,以下三角行列式为例来证明.,先决定所有可能的非零项,其次决定非零项的符号
6、,证,25,其中 * 表示此处元素可以是任意的数.,例6,26,这个行列式的值一般并不等于,当 n=4,5 时:,当 n=6,7 时:,问题 2: 如何决定下面一般项的符号?,注意,27,根据这个结论,也可以把行列式表示为:,行列式还有其它的定义方式 一般行列式不用定义来求值 主要利用行列式性质求值,注,28,定义,为D的转置行列式,(转置)行列互换值不变,即,1.2 n 阶行列式的性质,例如,性质1表明关于行的性质对列也成立.,性质1,29,(换法)换行(列)换号,即,性质2,30,两行(列)同值为零,即,推论,31,(倍法)把行列式的某一行(列)的所 有元素同乘以数k, 等于用数k乘以 这
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