fname=第十二章.ppt
《fname=第十二章.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《fname=第十二章.ppt(101页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第十二章 超静定结构的内力计算位移法 本章介绍超静定结构的第二个基本解法位移法。建立位移法方程有两种方法,一是直接应用典型方程写出位移法方程,二是应用结点平衡条件建立位移法方程。本章主要讨论位移法的基本原理及其应用,利用位移法计算连续梁和无侧移刚架及有侧移刚架;最后讨论对称性及直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程的过程。读者学习时要求掌握位移法的基本概念,能熟练运用超静定梁的形常数、载常数,掌握利用位移法计算连续梁和刚架。,12-1 位移法的基本概念 与力法相应,位移法是分析超静定结构的另一种基本方法。力法是以结构中的多余未知力为基本未知量,通过结构的变形条件求出多余未知力后,再求出结构的其
2、它内力和任一截面的位移。然而,在一定的外因作用下,对于线弹性结构,结构的内力和位移之间恒具有一定的关系。因此,在结构计算时,也可以将结构中的某些未知位移作为基本未知量,先根据结构的平衡条件求出这些基本未知量,然后利用位移与内力之间的关系求出相应的内力。这个方法是以未知的结点位移作为基本未知量,故称为位移法。,图12.1(a)所示结构中,结点A发生竖向位移,用位移法计算时,取结点位移,作为基本未知量。如果能设法求出这个基本未知量,那么各杆的伸长变形即可求出,从而各杆的内力就可求出。可见,位移,是求解的关键未知量。 求解未知量计算可分为以下两步: (1) 从结构中取出一个杆件进行分析。在体系中任取
3、一根杆件,如图12.1(b)所示,如已知杆件下端沿杆轴向位移为ui(即杆的伸长长度),则杆端力FNi应为,式中:,使杆端产生单位位移时所需施加的杆端力,称为杆件的刚度系数 式(a)表明杆端力FNi与杆端位移ui之间的关系,称为杆件的刚度方程。 (2) 把各杆件综合成结构。综合时各杆端的位移可用基本未知量,描述,如图12.1(c)所示。根据变形协调条件,各杆端位移ui与基本未知量之间的关系为,(b) 考虑结构的力平衡条件,如图12.1(d)所示,得,(c) 将式(a)、(b)代入(c)式中,即得,(d) 这就是位移法的基本方程,它表明结构的位移,与荷载FP之间的关系。由此可求出基本未知量,基本未
4、知量,求出后,将式(e)代入(b)式,再代入(a)式中,可得,由上述简例归纳出位移法的要点如下: (1) 位移法的基本未知量是结构的结点位移。 (2) 位移法的基本方程是平衡方程。 (3) 建立位移法基本方程的过程分为两步: 1) 把结构拆成杆件,进行杆件分析,得出杆件的刚度方程。 2) 再把杆件综合成结构,进行整体分析,得出位移法基本方程。 (4) 杆件分析是结构分析的基础,杆件的刚度方程是位移法基本方程的基础,因此位移法也叫做刚度法。,图12.2(a)所示刚架在荷载作用下发生虚线所示的变形,由于结点A为刚结点,杆件AB、AC在结点A处有相同的转角A。若忽略受弯直杆的轴向变形和剪切变形,并认
5、为弯曲变形是微小的,则可假定受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变,故结点 A只有角位移A无线位移。用位移法计算时,取结点位移A作为基本未知力。如果能够设法求出A,那么杆AB相当于两端固定的单跨梁,如图12.2(b)所示,固定端A产生转角A。杆AC相当于一端固定一端铰支的单跨梁, 如图12.2(c)所示,除承受荷载q作用外,固定端A产生转角A。,此时,整个刚架的计算问题就转化为单个杆件的计算问题,杆件的内力均可用力法算出。而当将杆件组装成原结构时,这些杆端内力应该满足结点的平衡条件,因此,应用结点的平衡条件就得到位移法的基本方程,从而求得未知的结点位移。 由此可见,用位移法分析结构时,先将整
6、个结构离散成杆件,进行单个杆件的受力分析,然后考虑结点的平衡条件,将杆件在结点处组装成整体结构,从而得到整个结构的内力和变形。这就是位移法的基本思路。,根据这个基本思路,采用位移法进行结构计算时,需要解决以下几个基本问题: (1) 如何建立单个杆件的杆端内力与杆端位移以及荷载之间的关系。 (2) 选取结构的哪些结点位移作为基本未知量。 (3) 如何建立以结点位移为基本未知量的方程,即位移法的基本方程。 下面依次讨论这些问题。,12-2 等截面直杆的转角位移方程 如上节所述,用位移法计算超静定结构时,把杆件看作单跨超静定梁,则杆端位移可看作单跨梁的支座位移。这样,杆端内力与杆端位移之间的关系可利
7、用力法求得。把杆件的杆端内力与杆端位移及荷载之间的关系式,称为转角位移方程。本节利用力法的计算结果,由叠加原理导出三种常用的等截面直杆由荷载、杆端位移产生的杆端弯矩和杆端剪力的计算公式。,一、杆端力和杆端位移的正负号规定 图12.3所示为一等截面直杆AB的隔离体,杆长为l,杆件的弹性模量E和截面惯性矩I均为常数,杆端A和B的角位移分别为A和B,A、B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为,弦转角,杆端A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、FsAB、FsBA。为了便于计算,在位移法中对杆端位移和杆端力的正负号作如下规定:,(1) 杆端角位移A、B 和弦转角均以顺时针为正,反之为负。 (2) 杆
8、端相对线位移,使杆端连线顺时针转动为正,反之为负。 (3) 杆端弯矩MAB、MBA规定绕杆端顺时针方向转动为正,反之为负。若对结点或支座,则以逆时针转动为正,反之为负。 (4) 杆端剪力FsAB、FsBA以使隔离体产生顺时针转动时为正,反之为负。,在图12.3中,各量值均以正方向标出。 必须注意,本章所述杆端的弯矩正、负号与弯曲梁中的弯矩正、负号规定不同。在作结构的弯矩图时,应按照此符号规定正确判断杆件的受拉侧,把弯矩图画在杆件受拉的一侧。同时,还应注意作用在杆端的弯矩与作用在结点上的弯矩是作用与反作用的关系。两者大小相等、方向相反,所以作用在结点上的弯矩的正向是逆时针方向。剪力无论作用在杆端
9、,还是作用在结点,总是以绕着其所作用隔离体顺时针转动为正。,二、等截面直杆的形常数 对于等截面直杆,将杆端沿某方向发生单位位移时引起的杆端力称为刚度系数;由于它们只是与杆件长度、截面几何形状和尺寸以及材料的弹性模量有关的常数,故又称为形常数。由于单位杆端角位移和单位杆端相对线位移引起的刚度系数,都可由力法求解得到。在位移法中,经常遇到的单跨超静定杆有三种类型:两端固定;一端固定、另一端铰支;一端固定、另一端定向支承。各种情况的形常数见表12-1。表中,称为杆件的线刚度。,三、等截面直杆的载常数 等截面直杆在荷载等外部因素作用下引起的杆端内力,常称为固端内力(包括固端弯矩和固端剪力)。AB杆的固
10、端弯矩用 和 表示,固端剪力用 和 表示。在给定杆件类型后,其数值只与荷载形式等有关,故称为载常数。同样,用力法可求得等截面直杆在各种荷载作用下的载常数。 表12-2中分别给出了三种不同类型的超静定杆件在常见荷载作用下的载常数表达式。,四、等截面直杆的转角位移方程 等截面直杆在各种荷载以及支座位移的共同作用下,其杆端力可根据叠加原理由表12-1、12-2中相应各栏的杆端力叠加得到。,1两端固定梁 图12.4(a)所示两端固定的等截面直杆,杆端A和B的角位移分别为A和B,A、B两端在垂直于杆轴AB方向的相对线位移为,梁上还作用有外荷载,其杆端弯矩和剪力分别为:,2一端固定另一端铰支梁 图12.4
11、(b)所示A端固定B端铰支的等截面直杆, A端转角为A,A、B两端相对线位移为,梁上还作用有外荷载,其杆端弯矩和剪力分别为:,(12-3),3一端固定另一端定向支承梁 图12.4(c)所示A端固定B端定向支座的等截面直杆, A端转角为A,B端转角为B,梁上还作用有外荷载,其杆端弯矩和剪力分别为:,(12-6) 以上各式称为等截面直杆的转角位移方程。它反映了杆端力与杆端位移以及所受荷载之间的关系。,12-3 位移法的基本未知量和基本结构 由上节内容可知,如果结构上每根杆件两端的角位移和垂直于杆轴的线位移都已求得,则各杆的内力均可确定。由于结构中的杆件是在结点处相互连接的,汇交于某刚结点处的各杆杆
12、端位移相等,且等于结点位移。因此,在位移法中,基本未知量应是各结点的角位移和线位移。在计算时,应首先确定独立的结点角位移和线位移的数目。,一、位移法的基本未知量 首先讨论结点角位移。由于变形协调,汇交于同一刚结点处各杆端的转角相等且等于刚结点的转角。所以,每一个刚结点有一个独立的角位移。在结构的固定支座处,其转角为零或是已知的支座位移;铰结点或铰支座处的杆端转角不是独立的位移,确定杆件内力时并不需要知道它们的数值,故可不作为基本未知量。因此,独立的结点角位移未知量的数目就等于刚结点的数目。如图12.5 (a)所示刚架,A、B、C均为固定支座,它们的转角为零;结点E为铰结点;D、F都是刚结点,分
13、别产生结点角位移D和F,用,2表示。因此,该刚架有两个独立的结点角位移。,然后再讨论结点线位移。为了减少基本未知量的个数,使计算得到简化,通常忽略各杆轴力引起的轴线变形对位移的影响,并假设结点转角和各杆弦转角都是微小的。因而认为受弯直杆两端之间的距离在变形后仍保持不变。这样,每一根受弯直杆就相当于一个约束,从而减少了独立的结点线位移数目。由此,图12.5 (a)所示刚架,A、B、C是固定端,由于AD、BE、CF两端距离保持不变,因此在微小位移的情况下,结点D、E、F都没有竖向位移。结点D、E、F虽然有水平线位移,但由于杆DE、EF长度不变,故三结点D、E、F均有相同的水平位移,用,3表示。所以
14、,该刚架只有一个独立的结点线位移。 位移法的基本未知量数目等于结构结构的独立结点角位移和独立的结点线位移之和。图12.5 (a)所示刚架的全部基本未知量共有三个:即结点角位移,1、,2和线位移,3,,对于刚架,由于不考虑各杆长度的改变,独立的结点线位移数目还可用几何组成分析的方法确定。即“铰化结点、增设链杆”的方法,把刚架所有刚结点和固定支座都改为铰结点,得到一个相应的铰接链杆体系,若此体系是几何可变或瞬变体系,则为使其成为几何不变所需添加的最少链杆数目就等于原结构的独立结点线位移数目。图12.5 (a)所示刚架,把所有的刚结点和固定支座都改为铰结点得到12.5 (b)所示铰接链杆体系,它是几
15、何可变的,只需添加一根非竖向链杆就能使其成为几何不变体系。因此,所示刚架有一个独立的结点线位移。,图12.6 (a)所示刚架有两个刚结点E、F、G,因而有两个独立的角位移未知量。改为铰接链杆体系后是一瞬变体系,如图12.6 (b)所示,需在结点G处加入一根附加链杆后体系才能成为几何不变。故此刚架有两个基本未知量,两个独立的结点角位移和一个独立的结点线位移。,图12.7 (a)所示刚架有三个刚结点E、F、G,因而有三个独立的结点角位移。其相应的铰接链杆体系如图12.7 (b)所示,需在结点E、G处加入两根水平附加链杆后体系才能成为几何不变。故原结构有五个基本未知量,三个独立的结点角位移和两个独立
16、的结点线位移。,应该指出,上述确定结构的独立结点线位移的方法,是以受弯直杆变形后两端距离不变的假设为前提的。对于需要考虑轴向变形的链杆,其两端距离不能看作不变。如图12.8 (a)所示结构中,杆件AD和BC的轴向刚度EA为常量,要考虑轴向变形,因而结点A既有水平位移,又有竖向位移,且结点C与结点A的水平位移不等,故有3个独立的结点线位移。,总括起来说,用位移法计算刚架时,基本未知量包括结点角位移和独立结点线位移。结点角位移的数目等于结构刚结点的数目;独立结点线位移的数目等于将刚结点改为铰结点后得到的铰接链杆体系成为几何不变所需附加的最少链杆数目。 在确定基本未知量时,由于既保证了刚结点各杆杆端
17、转角彼此相等,又保证了各杆杆端距离保持不变,因此,在将分解的杆件再综合为结构的过程中,能够保证各杆杆端位移彼此协调,因此能够满足变形连续条件。,二、位移法的基本结构,位移法计算超静定结构时,须将每根杆件都看成单跨超静定梁进行分析,建立各杆件的转角位移方程。为使原结构的各杆都称为单跨超静定梁,可以通过增加约束的方法来实现。具体做法如下:在每个刚结点上加一个附加刚臂,用“ ”表示 ,阻止刚结点的转动但不能阻止结点的线位移;同时,在每个产生独立结点线位移的结点,沿线位移的方向加上附加链杆,阻止结点的线位移。这样得到的无结点位移的结构称为原结构的基本结构。在基本结构中,原结构的所有杆件就变成彼此独立的
18、单跨超静定梁。因此,位移法的基本结构是一个由若干单跨超静定梁组成的组合体系。把基本结构在荷载和基本未知位移共同作用下的体系称为原结构的基本体系。,图12.9 (a)所示刚架,位移法的基本未知量为结点B的角位移和结点C的水平线位移。在刚结点C附加一个阻止该结点转动的刚臂,在结点C附加一个阻止该结点沿水平方向移动的水平链杆,得到图12.9 (b)所示的基本结构,基本体系如图12.9 (c)所示。,由以上讨论可知,在原结构基本未知量处,增加相应的约束,就得到原结构的基本结构,附加约束的数目与结点位移数目相等。其中附加刚臂的数目等于原结构中独立结点角位移数目;附加链杆的数目等于原结构中独立结点线位移的
19、数目。所以,附加刚臂与附加链杆的数目之和即为位移法中基本未知量的数目,12-4 位移法方程 位移法的基本结构,在荷载与结点位移的共同作用下,如何才能转化为原结构呢?转化的条件就是建立满足平衡条件的位移法方程。建立位移法方程有两种:一种是将原结构与基本体系对比,建立位移法方程并求出基本未知量;另一种是直接利用平衡条件求出基本未知量。本节先介绍第一种方法,第七节中将介绍直接用平衡条件建立位移法方程,一、位移法方程的建立 以图12.10 (a)所示刚架说明位移法方程的建立。 该刚架有一个刚结点B,基本未知量就是结点B的角位移 1。在结点B处附加刚臂约束转动,得到基本结构如图12.10 (b)所示,基
20、本体系如图12.10 (c)所示。将荷载作用于基本结构时,显然基本结构的受力和变形与原结构不同。如果使附加刚臂产生与原结构结点B的相同的转角 1(用“ ” 表示附加刚臂的转角),则两者的位移就完全相同。从受力和变形方面看,基本结构中由于附加刚臂约束了原结构结点B的位移 1,刚臂上便会产生附加反力矩。由于基本体系的受力变形要与原结构完全相同,原结构的结点B上并无刚臂,当然也就不存在附加反力矩,所以基本体系上附加刚臂上的反力矩应等于零,即,这就是基本体系转化为原结构的条件。F10是一个平衡方程。 根据叠加原理,基本体系中的受力情况等于基本结构受荷载作用(图12.10 d)和刚臂转动,1(图12.1
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- fname 第十二
链接地址:https://www.31doc.com/p-2976643.html